AHP层次分析法简介

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1、16层次分析法—AHP简介(TheAnalgticHierarachyProcess----AHP)前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP产生的背景。匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。于80年

2、代初由Saaty的学生介绍到我国。层次分析AHP的特点：1.输入信息主要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2.简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3.实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；4.系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的数学背景。好在我们只重应用，并不过多涉及AHP的数学背景。AHP的主要不足在于：1.AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太

3、强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。AHP——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP的结果显然靠不住，所以，AHP中通常是群组判断方式。尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。§1AHP预备

4、知识（一）1.特征根与特征向量设为n阶方阵，若存在常数和非零n维向量，使得(1)则称，是矩阵A的特征根（或特征值），非零向量是矩阵A关于特征根的特征向量。1.1特征根的求法由（1）得，这是一个n元一次线性齐次方程组，按题意该方程组有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即（2）称（2）式为矩阵A的特征方程，它是一个一元n1–1616次方程，由代数基本定理知，该方程有且只有n个根。2.重量模型设为n个物体，重量分别是。但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：设准则C为重量，问题是：已知，在准则C下对元素

5、排序，也就是按其重量大小排序已知。显然满足（1）（2）：（1）（2）（3）但是，（3）式通常不被满足，满足（1）、（2）的A为正互反矩阵；满足（1）、（2）并且（3）也成立时的称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A，在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。如果，是，，是重量的精确值，此时（3）式必定成立，即A是一致性矩阵。令则显见n是方阵A的特征根，g是A的与对应的特征向量；事实上此时不难验证：n是方阵A=(aij)的最大特征根，其余n-1个特征根全为零，而g是A的与最大特征根n对应的特征向量。（证明见附录）g的n

6、个分量是物体的相对重量，因此，可按此对排序。如果对矩阵A有一个小的扰动，即不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一致性条件，此时A的最大特征根不再是n；因扰动很小，自然离n不远，这时对应的特征向量虽然不会是n个物体的真实重量，但是，变动也不会太大。我们设想：如果扰动不大，则离n就不远，此时对应的特征向量与差不多，如果不改变g的各分量的大小次序，则同样给出n个物体按重量大小的真实排序。这样，对不满足一致性的正互反矩阵，我们求其最大特征根，再求与对应的特征向量g，则可按g对n个物体按重量大小排序。但是，这一番理论有几个疑点：①

7、当A不满足一致性时，A还有没有最大正的特征根；②既使A1–1616有最大特征根，那么，这个最大特征根对应的特征向量的全部分量能否还是正数？因为，该特征向量的各个分量对应的是n个物体的相对重量（特征向量乘一个非零常数仍是特征向量）。因为矩阵代数中Perro—Frobineus理论明确地回答了这个问题。Perro-Frobineus定理：1.正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是帷一的。（证明略）Perron定理明白地告诉我

8、们，对正的互反矩阵A，既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后是帷一的。但是，我们能否按这个“归一化”后是帷一的特征向量对n个物体按重量大小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根=n对应的特征向量的