高中物理八大解题方法之五：极值法.docx

《高中物理八大解题方法之五：极值法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。一、二次函数求极值二次函数yax2bxca(xb)2b24ac，当xb2a4a2a时，y有极值4acb2，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。ym4a例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。设第一个物体的质量为m1，速度为V1。第二个物体的质量为m2，速度为V2。碰撞以后的速度分别为V1和V2。假使这四个速度都在一条直线上。根据动量守恒定律有：m1V1m2V2m1V1m2V2（1）如果是完

2、全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为m1V1m2V2(m1m2)V，即Vm1V1m2V2（2）m1m2现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。碰撞中动能损失为22Ek=(m1v12m2v22)(m1v1m2v2)（3）2222转变为数学问题：Ek为v的二次函数:(m1v1m2v2m1v1)（4）由（1）得：v2ˊ=m2将（4）代入（3）得：Ek=m1(m1m2)v1'2m1(m1v1m2v2)v1'[m1v12m2v22(m1v1m2v2)2]2mm2222m2二次函数求极值,-1-当v1ˊ=(m1v1m2v2)（5）时(m1m2)E

3、k有极大值。回到物理问题,将（5）代入（4）得v2ˊ=(m1v1m2v2)(m1m2)此两式表明,m12碰后速度相等,即粘合在一起k和m,此时动能损失(E)最大。二、由公式(ab)20得a2b22ab当ab时，a2b2有极小值2ab，若a1，此时极小值为2。b同理，ab的极大值为a2b2。2例2求弹性正碰中m1所传递给m2的动能最大或最小的条件。设一个质量为m1，动能为Ek的物体与一个质量为m2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m1传递给m2动能最大或最小的条件。设m1原来的速度为V1，碰撞后两物体的速度分别为V1和V2，根据弹性正碰中的动量守恒和动能守恒，有

4、方程组：m1V1m1V1m2V212121'2m1V1m1V12m2V222解此方程得：V1m1m2V1，V22m1V1m1m2m1m2m1传递给m2动能，即为m2获得的动能：Ek21m2V221m2(2m1V1)24m1m22Ek。22m1m2(m1m2)现在求Ek2的极值条件和极值。Ek24m1m2m22Ek4Ekm122m1m2m12m2m2m1当m1=m2时m1m2有极小值2，所以当m1=m2时，Ek2有极大值Ek，即m1m2m1-2-传递给m2动能最大的条件是二者质量相等。此时m1的全部动能传递给m2，也就是说：碰撞之后V1=0，V2V1。这在物理学史上有一段趣

5、闻，在成立不久的英国皇家学会的一次例会上，一位工程师的表演引起了与会者的极大兴趣：两个质量相同的钢球A和B，分别吊在细绳上，静止时紧靠在一起，使A球偏开一个角度后放开，它回到原来的位置时撞上B球，碰撞后A球静止下来，B球摆到与A求原来高度几乎相等的高度。惠斯通通过对此现象的研究和解释中确定了动能的定义。此问题可扩大到第二个物体原来不静止的情况。设m2碰前的速度为V2，则方程组变为：m1V1m2V2m1V2'm2V21m1V121m2V221m1V121m2V222222其解为：V1'm1m2V12m2V2m1m2m1m2V22m1V1m2m1V2m1m2m1m2则EkEk

6、2Ek21'212的表达式代入此式，并且以Ek12m2V2m2V2，将V2112代入222m1V1，以Ek2代入2m2V2，得：Ek4m1m2(Ek1Ek2)2m1m2(m1m2)12(m1m2)2(m1m2)2V1V2，当m=m时，因后项为零，前项取最大值，故Ek取最大值。此时，m1把原来m2多的那部分动能全部传递给m2。三、三角函数求极值：三角函数ysinx，当x0时，y取最小值0，当x时，y取最大值1，（x在20到2范围内），同理，ycosx,x0时，y取最大值1，x时，y取最小值0。2例3在倾角=300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩

7、擦系数为3，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？3设所加的外力F与斜面夹角为a，物体受力情况如图所示。NF-3-fG由于物体作匀速直线运动，根据共点力的平衡条件，有方程组：Fcosamgsinf0NFsinamgcos0fN解此方程组，消去N，得：mg(sincos)Fsina，cosa因为为已知，故分子为定值，分母是变量为a的三角函数，令ycosasina12(1cosasin)121212(sincoscossina)12sin(a)其中，sin1，cos12即tg121当a900时，即a900时，y