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1、数值计算方法在结构动力学中应用 摘要：本文主要介绍数值分析方法在土木工程领域中的应用，并实例计算了单自由度体系的自由振动，给出了代码和计算过程。关键词：数值计算方法；结构动力学中图分类号：TU311.3文献标识码：A文章编号：一、数值计算方法在结构动力学的应用结构动力学是一门研究结构在动力荷载作用下结构的反应。其中许多问题涉及到用有限自由度来代替无限自由，问题及其复杂，想得到解基本上很难，要么就花费许多时间，进入采取数值计算方法来求解并结合计算机编程来实现[1]。下面就动力反应数值分析方法来简要说明一下：（1）求结构在动力荷载作用下的
2、反应时，要求特征值，由于行列式及其复杂，求特征值就必须用到数值计算方法中的Jacobi迭代法、Gauss-Seidal迭代法，一步一步迭代来接近精确解，由于手算很麻烦，一般编一个程序通过计算机来完成。（2）中心差分法基于有限差分代替位移对时间的求导，（即速度和加速度）。如果采用等时间步长△ti=△t，则速度和加速度的中心差分近似为：（1）6（2）（3）（3）对于结构的位移与受的力的关系不成线性变化时采用变刚度迭代法,但是变刚度法有一个缺点是要反复修正刚度矩阵；这时就要用迭代方法的熟练条件来判断刚度阵的病态问题。如果第k步误差与前k-1步
3、误差的总和之比小于一个给定的小量ε时，则认为迭代收敛，达到要求的精度，停止迭代计算。二、举例编程运用MATLAB求解这个问题时，一般要经历建模和编程两个过程，只有在建模正确的前提下，方能得出正确的结果。下面举例说明单自由度体系有阻尼振动。1.建立计算模型由动力学可知，单自由度体系有阻尼自由振动的振动方程为：（4）可以转化为：（5）其中，，，那么运动方程的解为：（6）其中，，，，x0表示初始位置，ν0表示初始速度。6现在，分别设ξ从0.1到1，公共参数ωn=1，x0=1，ν0=0，计算的终止时间tf=2。试求运动方程的解，并画出波形。2.
4、MATLAB编制解算程序编写M文件C11L1.m如下：%首先清空MATLAB的工作空间clear;%给定初值wn=10;tf=2;x0=1;v0=0;%计算不同的ξ值所对应的振型forj=1:10;eta(j)=0.1*j;wd(j)=wn*sqrt(1-eta(j));%求振幅Aa=sqrt((wn*x0*eta(j)+v0)+(x0*wd(j)))/wd(j);%为了求四象限相位角调用函数atan2phi=atan2(wd(j)*x0,v0+eta(j)*wn*x0);%设定自变量数组tt=0:tf/1000:tf;%求过渡过
5、程6x(j,:)=a*exp(-eta(j)*wn*t).*sin(wd(j)*t+phi);end%在同一个图形窗口中绘制不同的ξ值所对应的振型plot(t,x(1,:),t,x(2,:),t,x(3,:),t,x(4,:),...t,x(5,:),t,x(6,:),t,x(7,:),t,x(8,:),…t,x(9,:),t,x(10,:))gridon%新建一个图形窗口，绘制三维网格图figuremesh(x)>>程序的运行结果如图1和图2所示，曲线放映出不同的ξ值对图有振动模态的影响。图2是其三维图形。图1不同的ξ值得固有振型图2
6、不同ξ值得固有振型三维网格图6从三维图中可以形象地看出ξ对固有振型的影响，如果改变初始条件令x0=0，ν0=1，即给定一个初始速度，其运动曲线实际上就是系统的脉冲过渡函数，如图3和图4所示。由于脉冲函数的幅值无穷大，而持续时间和是无穷小，其面积是一个单位，因此，脉冲激励的最后效果是：可在处形成一个单位的初速度ν0，由它产生的波形就是脉冲过渡函数。图3脉冲函数不同的ξ值的固有振型图4脉冲函数不同的ξ值的固有振型三维网格图三、结语（1）在试验数据采集与录入过程中，数据格式不一定能以表格形式绘出，部分数据也需要取舍，采用Matlab文件输入输
7、出方面的函数及矩阵运算功能，可以使成千上万的数据处理方便迅速地完成[2]。（2）通过本次试验研究表明，Matlab强大的功能可以使研究人员的精力集中于试验分析本身，而不在算法上，从而节省了大量宝贵时间，提高了研究工作的效率，由于其功能强大，在很多方面还未有效地利用Matlab，因此，有待继续探索研究[3]。参考文献：[1]关文阁,杨黎萌,魏翠玲.应用MATLAB计算结构自振频率和振型的一种方法[J].河北工程学院学报,2005,12(4):5-7.[2]方开泰,金辉,陈庆云.实用回归分析[M].北京:科学出版社,1988.6[3]庄一舟
8、,金伟良,谢狄敏等.钢筋混凝土砌体组合墙结构的应用和研究[J].工业建筑,1999,29(4):29-31.6
