常微分方程解的延伸.doc

《常微分方程解的延伸.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3解的延伸§1的定理1只肯定了在相当广泛的条件之下，解在区间上存在，其中，。当很大时，可能很小,甚至出现的定义域扩大后,Cauchy问题的解的存在区间反而缩小的现象.例如Riccati方程的Cauchy问题当时，，而当时，。由此看到，，反而,这说明在上，由定理1得到的Cauchy问题的解在有定义,至少可以把此解延伸在上仍有定义。仅仅知道解局部存在，在许多情形下往往不能满足需要。我们的问题是:能否将一个在小区间上有定义的解延伸到比较大的区间上去呢？这就是本节所要讨论的问题.设微分方程经过点的解有如下表达式,（）其中表示的最大存在区间.先考察积分曲线在点右侧的延伸情况。令为

2、在点右侧的最大存在区间，即。若，则积分曲线在区域内就延伸到无穷远,因此也就延伸到区域的边界。否则，就只有下面两种可能：1）是有限闭区间.令,其中，方程与条件的解存在于区间上，当时，，我们按下述方式把解向右延伸：令，则。因为区域是一个开集,所以存在矩形区域:：，,使得。由定理3,，在上，方程至少有一个解满足初始条件.令显然是方程的满足条件的在区间上有定义的解.因此，它是积分曲线在区间上的表达式.由于已设积分曲线的最大右侧存在区间为,从而必包含，与假设矛盾.故比可能是有限闭区间。2）是有限半开区间.令，其中，而当时,有。下证对任何有限闭区域，不可能使，对一切成立.事实上，若不

3、然，设是内一个有限闭区域,使得成立，则有和，当它等价于，（）由于在有限闭区域上是连续的，故在上有上界，再由和可推知，在上有上界，再由拉格郎日中值公式即可推得，当.由此可证，当时，的极限存在，设为，即令可知这样定义的函数是连续的，从而由和可知,在上满足。由上一节定理1的证明知，在区间上是微分方程的满足初值条件的一个解。这也就是说,上面的积分曲线可延伸到区间上，这与的最大存在区间为矛盾。故对任何有限闭区域，关系式是不可能成立的。由上述讨论可知，积分曲线在点的右侧将延伸到区域的边界。同理可证，积分曲线在点的左侧也将延伸到区域的边界。把上面的结果写成一个定理，即有定理4设为区域内

4、一点，并设是积分方程经过点的任一条积分曲线，则积分曲线将在区域内延伸到边界。由定理1和定理4立即可得如下推论.推论设函数在区域内连续，且对满足局部的李普希兹条件，则微分方程经过内任一点存在唯一的积分曲线，并且在内延伸到边界.例1在平面上任取一点,试证初值问题：，的右行解（即从点出发向右延伸的解)都在区间存在.证记，它在全平面上连续.对于平面上任意一个包含点的区域,在上一致连续，所以对，,亦即在上满足李普希兹条件，从而由上面的推论可知,初值问题的解存在且唯一,并且可以延伸到的边界。不难看出,直线：是微分方程所对应的线素场的水平等斜线，且线素的斜率在上方为负，因而积分曲线在上

5、方是单调下降的，而在下方线素的斜率为正，故积分曲线在下方是单调上升的.现设位于的上方，即有。利用的右行解在条形域:上的延伸定理，以及积分曲线在上方的单调下降性，可推知必与相交（如图）.再设位于直线上或其下方，即.那么在区域:上应用右行解的延伸定理，可知的解可延伸到的边界.又由前面讨论知，在下方积分曲线是单调上升的，且它在向右延伸时不可能从水平等斜线的下方穿越到上方.因此，积分曲线必可延伸到。例2研究定义于条形区域：中的方程.这里处处连续，且在条形区域中的任一点的领域内满足李普希兹条件。方程的通解为，此外还有特解。很显然,积分曲线的两端都能达到的边界。可以算出,经过点的积分

6、曲线是，它的左端能达到，但右端当时，,故不能达到的边界。仿此，经过点的积分曲线是，它的右端能达到,但在左端当时,，故不能达到的边界.（如图)例2说明，微分方程解的最大存在区间因解而异。对不同的解，需要在不同的区间上进行讨论.因此，当我们不知道解的最大存在区间时就无法对解进行研究，下面的定理在一定条件下为我们克服了这个困难。定理5设微分方程其中函数在条形区域:内连续，而且满足不等式其中和在区间上是连续的。则微分方程的每一个解都以区间为最大存在区间。证设方程满足初值条件，的一个解为：。要证的最大存在区间为。用反证法.设它的右侧最大存在区间为,其中是常数,，在的两侧分别取常数,

7、使得,且。由假设条件知，、在有限闭区间上是连续有界的.设分别为它们的正的上界，从而由可得，（）不妨设,由于在上存在,，于是有，。现以点为中心作一矩形区域。这里正数是充分大。显然,。再由有，成立.令，，再以点为中心作一矩形区域。显然，，在内应用定理4，可以推知，微分方程过的解必可向右延伸到的边界.另一方面，由式可知，解在内必停留在扇形区域。因此,解可向右延伸到，又由于及.所以只要取充分大的正数，就有。由此可知，在上存在.但是，由上述区域的构作可知,区间严格大于的右侧最大存在区间。故矛盾.从而证明的右侧最大存在区间为。同理可证的左