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时间:2020-03-31
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1、第七节二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型,即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。§7.1二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为+p+qy=0(7.1)其中p、q是常数,由上节定理二知,要求方程(7.1)的通解,只要求出其任意两个线性无关的特解y1,y2就可以了,下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式
2、的特解,从方程的形式上来看,它的特点是,,y各乘以常数因子后相加等于零,如果能找到一个函数y,其,,y之间只相差一个常数因子,这样的函数有可能是方程(7.1)的特解,在初等函数中,指数函数erx,符合上述要求,于是我们令y=erx(其中r为待定常数)来试解将y=erx,=rerx,=r2erx代入方程(7.1)得r2erx+prerx+qerx=0或erx(r2+pr+q)=0因为erx≠0,故得r2+pr+q=0由此可见,若r是二次方程r2+pr+q=0(7.2)的根,那么erx就是方程(7.1)的特解,于是方程(7.1)的求解问题,就转化
3、为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r1,r2,称为特征根,由代数知识,特征根r1,r2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r1,r2,此时er1x,er2x是方程(7.1)的两个特解。因为=e≠常数所以er1x,er2x为线性无关函数,由解的结构定理知,方程(7.1)的通解为y=C1er1x+C2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根r1=r2,此时p2-4q=0,即有r1=
4、r2=,这样只能得到方程(7.1)的一个特解y1=er1x,因此,我们还要设法找出另一个满足≠常数,的特解y2,故应是x的某个函数,设=u,其中u=u(x)为待定函数,即y2=uy1=uer1x对y2求一阶,二阶导数得=er1x+r1uer1x=(+r1u)er1x=(r21u+2r1+)er1x将它们代入方程(7.1)得(r21u+2r1+)er1x+p(+r1u)er1x+quer1x=0或[+(2r1+p)+(r21+pr1+q)u]er1x=0因为er1x≠0,且因r1是特征方程的根,故有r21+pr1+q=0,又因r1=-故有2r
5、1+p=0,于是上式成为=0显然满足=0的函数很多,我们取其中最简单的一个u(x)=x则y2=xerx是方程(7.1)的另一个特解,且y1,y2是两个线性无关的函数,所以方程(7.1)的通解是y=C1er1x+C2xer1x=(C1+C2x)er1x(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ此时方程(7.1)有两个特解y1=e(α+iβ)xy2=e(α-iβ)x则通解为y=C1e(α+iβ)x+C2e(α-iβ)x其中C1,C2为任意常数,但是这种复数形式的解,在应用上不方便。在实际问题中,常常需要实数形式的通
6、解,为此利用欧拉公式eix=cosx+isinx,e-ix=cosx-isinx有(eix+e-ix)=cosx(eix-e-ix)=sinx(y1+y2)=eαx(eiβx+e-iβx)=eαxcosβx(y1-y2)=eαx(eiβx-e-iβx)=eαxsinβx由上节定理一知,(y1+y2),(y1-y2)是方程(7.1)的两个特解,也即eαxcosβx,eαxsinβx是方程(7.1)的两个特解:且它们线性无关,由上节定理二知,方程(7.1)的通解为y=C1eαxcosβx+C2eαxsinβx或y=eαx(C1cosβx+C2sin
7、βx)其中C1,C2为任意常数,至此我们已找到了实数形式的通解,其中α,β分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。综上所述,求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解,只须先求出其特征方程(7.2)的根,再根据他的三种情况确定其通解,现列表如下特征方程r2+pr+q=0的根微分方程+p+qy=0的通解有二个不相等的实根r1,r2y=C1er1x+C2er2x有二重根r1=r2y=(C1+C2x)er1x有一对共轭复根y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)例1.求下列二阶常系数线性齐次方程的通解(1)+3-10y=0(2)-4+4y=0(3)+
8、4+7y=0解(1)特
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