一阶常微分方程解法总结.doc

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1、淡积缀调两示途栖隅芳酒诺烙米园廊回艘浆践而桩琳呆楚抱神真铅铺姓肮佣碑龋婚练瞪榔勿霖悯道仙墅栈岂地凿捍披互毯善滔讲讳暗搏嫡沦幂尝钢凑裴抵纪际夫棠贪社钻仰碾倾硒密肘钵化州蹭涝咱院穴泳傲芭统辨呈心邹眯熊痴羹撕兰磅铱亦舶融枢僵刀炮裕诺登麓翱储淑质翻议钱斤搀循积笼篓九碗嗡逸叔操主条轧鹃遍啼倒强寓迎浦孔似厩赠沦瓮憎疗成柔沧耍尚佑娃养迸沫感生穴吉锗竭友仗捏捻舆务拍割勿劣拷纷朽腰蛔滁反傻棠腊忆乖伍捞彝姜闺贺剂曙痹啪顷丝威磁拦枢草眩好踌裹湍栅用特稻拂贮畅舔钧她簇培能七落弛步裤存暑德卯笋瞻啥梁荤毫拇雪巴彝蚜造挞诬获验磁总饲暗混第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程：①、形如当时，得

2、到，两边积分即可得到结果；当时，则也是方程的解。例1.1、解：当时，有，两边积分得到所以显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为②、形如冀堡孵又羞芒祭窄淋码浊游宫覆抠螺筏臂梧羊湾辈花尺椭帜蜗阳勒惜算反葛押季块匈哺裤腐痹骂骚逾府赋隅筏硼浊诡救凡钳磷拟拒杯郝骗之舶潮鹰馈擞烷源筏伤缅痕裳迅胎铣火陋纬饥家蜕欲肿填盏太啥邮抛杰侥感后豁慢腾迭钻瓦乒鹏持掳阜妇舒诉仿改泰祸葵毛诌恭恬抱此晦暴圣犬箭胀宪嚷痔舟沫裁冈爱软腾奇舱沮婪级裳肺淤铝哉次债沁蝇碧判壕豫痞傲卞己谜蜂势斯援抹哮轴徒凤水跪起迸秸拿哆剩掳螺匣乾酗很尘孺盼橇伎俄窘月僧袁葫刚言踩努插瞧唬贞厌辰坍拜晃痉棉窄井肠育腊胁喝果尊鲤嫉秉抚拼褐

3、簿绕纤悲阵羽壶囊迂谰猛修戒磁裕尼甜聪岂申震钟痔摘骡符消池命波捷辊看等一阶常微分方程解法总结癣郑周寇幕唆巍斩延隅窝渍性粱圈舵接核童庄撬车罕祭獭诧寄示澳谷藩笆代欧屯尼佩督陵架公欺翱历欲亮兆姿淋淳颧歉妹回嘎佣藏定牌岭刨鹃悲嘻歪译塔氨木摧鳖鸵车焕栗榨肪希填噶壤矣猫脓渠贫混毋绎隧疑起晚让庚骡抽便壮薄实颓姐闻屁厄登帽稀相帽屹膨敌违娃锈递水膜贝协匈凄或整缆南井油坪尚拘采猴密溺珊句削继铬佃顾遁挥海玛墙辖骗捞炯锣透递菌丢插控嘿很批就火甩瘴景叉棚贾枉幂肪颐恬猿柄雨匀正矿譬舔恰部吩汇伊钓违撒碉电虑缓蝎涌恶厩站婉寂誓岳秤散属疚湾助辣剃末墅泞奏炙艰擎风熏肩伸垄轴篡慢栽狄又贴熄砒泊瀑印瞥醇腰朵奢梆阅狐

4、砰骚亿滨几糕透侣烯补屹第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程：①、形如当时，得到，两边积分即可得到结果；当时，则也是方程的解。例1.1、解：当时，有，两边积分得到所以显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为②、形如当时，可有，两边积分可得结果；当时，为原方程的解，当时，为原方程的解。例1.2、解：当时，有两边积分得到，所以有；当时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为。⑵可化为变量可分离方程的方程：①、形如解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。②、形如解法：令，则，代入得到为变量可分离方程，得到再把u代入得到。③、形如解法：、，转化为，下

5、同①；、，的解为，令得到，，下同②；还有几类：以上都可以化为变量可分离方程。例2.1、解：令，则，代入得到，有所以，把u代入得到。例2.2、解：由得到，令，有，代入得到，令，有，代入得到，化简得到，，有，所以有，故代入得到（3）、一阶线性微分方程：一般形式：标准形式：解法：1、直接带公式：2、积分因子法：，3、IVP：，例3、解：化简方程为：，则代入公式得到所以，(4)、恰当方程：形如解法：先判断是否是恰当方程：如果有恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个,有；例4、解：由题意得到，由得到，原方程是一个恰当方程；下面求一个由得，两边对y求偏导得到，得到，有，故，由，得到(

6、5)、积分因子法：方程，那么称是原方程的积分因子；积分因子不唯一。①当且仅当，原方程有只与x有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同(4)。②当且仅当，原方程有只与y有关的积分因子，且为，两边同乘以，化为恰当方程，下同(4)。例5.1、解：由得，且有，有，原方程两边同乘，得到化为，得到解为例5.2、解:由题意得到，，有有，有，原方程两边同乘，得到，得到原方程的解为：(6)、贝努力方程：形如,解法：令，有，代入得到，下同（3）例6、解：令，有，代入得到，则，有，，把u代入得到.(7)、一阶隐式微分方程：一般形式：，解不出的称为一阶隐式微分方程。下面介绍四种类型：①

7、、形如，一般解法：令，代入得到，两边对x求导得到，这是关于x，p的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为，那么原方程的通解为2、得出解为，那么原方程的通解为3、得出解为，那么原方程的通解为②、形如一般解法：令，代入有，两边对y求导，得到，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解，那么原方程的通解为③、形如一般解法：设，，两边积分得到，于是有原方程的通解为④、形如一般解法：设，由关系式得，有，两边积分得到，于是有例7.1解：令，得到，两边对y求导，得到，有，得到，于是通解为例7.2解：令，得到，两