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1、个人收集整理勿做商业用途三、列方程求面积 数学课上，老师出了这样一道题: 图中(见图1，其中cm表示厘米）平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影三角形的面积. 小红仔细想了一会儿，提出了自己的解法,她说：这个三角形只给出了高的长度,因此它的面积不能直接计算出来，可先把平行四边形分割成三部分（如图2)，因为两边的两个三角形面积是相等的，中间的长方形面积又可求，所以阴影三角形面积等于 (48-5×6）÷2=9（平方厘米） 小刚不同意小红的说法，他说：这个三角形的面积可以直接求出。它的高为6，底为a，虽然不
2、是已知,但可以求出。根据平行四边形面积为48，高为6，可列出方程 （5+a）×6=48 解方程，求得a=3 所以三角形面积为 3×6÷2=9（平方厘米） 怎么样,小红和小刚的解法你都看懂了吗？小红的解法很巧妙，小刚的解法也很正确,他采用了设未知数列方程的方法,这在有关面积的计算问题中经常会用到.下面我们通过几个例题来说明如何利用列简易方程求面积.例1图3中三角形ABE、AFD和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积(单位：厘米）。个人收集整理勿做商业用途分析与解因为三角形AEF的底和高很难求出
3、,因此直接用三角形面积公式计算很困难.从图中看出,三角形AEF的面积等于四边形AECF的面积减去三角形CFE的面积.因为四边形AECF与三角形ABE、AFD共同把长方形ABCD的面积三等分，所以四边形AECF的面积可求。关键是求出三角形ECF的面积，而要求三角形ECF的面积，就要求出CE、CF的长，这又需要求出BE、DF的长，由三角形面积公式，可列出方程,问题得解. 由于长方形ABCD面积=6×9=54（平方厘米） 所以 三角形ABE面积=三角形AFD面积 =四边形AECF面积 =54÷3 =18(
4、平方厘米） 又因为 三角形ABE面积=6×BE÷2 也就是 6×BE÷2=18 所以 BE=18÷6×2=6（厘米） 同样由 三角形AFD面积=9×DF÷2 可得到 9×DF÷2=18 所以 DF=18÷9×2=4(厘米） 因此，CE=9—BE=9—6=3（厘米） CF=6-DF=6-4=2(厘米）个人收集整理勿做商业用途 三角形CFE面积=3×2÷2 =3（平方厘米） 三角形AEF面积=四边形AECF面积-三角形ECF面积 =18—3 =15（平方厘米）例2一块长方形铁皮
5、，在长边减去6厘米(把厘米记为cm）,短边减去3厘米后,得到的正方形面积比原长方形面积少了54平方厘米，求原长方形铁皮的面积.分析与解根据题意画出图4，这里 长方形面积=正方形面积+54 这说明阴影部分的面积等于54平方厘米，只要求出正方形的面积,原长方形的面积就可知了。实际上只要求正方形的边长，问题即可解决。 首先将正方形的一边AB延长交长方形的长于C.设正方形边长为x（厘米），则 阴影部分面积=（3+x）×6+3x 所以 （3+x）×6+3x=54 18+6x+3x=54 9x=54-18
6、 x=36÷9=4 因此个人收集整理勿做商业用途 长方形面积=4×4+54=70(平方厘米）或 长方形面积=（4+6）×（4+3） =70（平方厘米）例3图5中,梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底AB长10厘米,高EF长6厘米，三角形DOC的面积为5平方厘米，求三角形ABO的面积。分析与解要想求出图5中三角形AOB的面积,需要求出三角形ABO的高OF，因为已知梯形的高EF为6厘米,所以只要求出三角形DOC的高OE即可.三角形DOC的面积已知，求它的高，需先求出DC的长度，而DC的长度可由梯形的面积公
7、式求出. 由梯形的面积公式有： （DC+10)×6÷2=45 整理，有： DC+10=45×2÷6=15 DC=15—10=5（厘米） 因为三角形DOC面积为5平方厘米,由三角形面积公式，有： 5×OE÷2=5 OE=5÷5×2=2(厘米） 所以 OF=EF-OE=6—2=4(厘米） 三角形ABO面积=10×4÷2=20（平方厘米） 说明：本题也可采用“重叠”的办法解决个人收集整理勿做商业用途。观察图形可以发现，三角形ABC与三角形ABD是等高同底的三角形，它们的面积必相等.在这两个三角
8、形中，显然三角形ABO“重叠”一次，如果加上已知的三角形DOC的面积,正好是梯形ABCD的面积又多了一个三角形AOB的面积。所以 三角形ABO面积 =三角形ABD面积+三角形ABC面积+三角形DOC面积 -梯形ABCD面积 =2×10×6÷2+5-45 =60+5-45 =20（平方厘米) 上面的几个例题，都是直接计算图形面积有困难，先通过列简易方程求得某些线段的长，然后
