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1、三次样条插值3.6三次样条插值什么是样条:是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数一、三次样条插值函数定义1.------(1)二、三次样条插值多项式------(2)------(3)------(4)少两个条件并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:第一类(一阶)边界条件:第二类(二阶)边界条件第三类(周期)
2、边界条件------(5)------(6)------(7)加上任何一类边界条件(至少两个)后一般使用第一、二类边界条件,即------(8)或常用第二类边界条件三次样条插值的M方法设f(x)是定义在[a,b]区间上的一个二次连续可微函数，为分划：S(x)在[xi-1,xi]上的表达式为：令i=0,1,2,…,n在每一个小区间[xi-1,xi]i=1,…,n上都是三次多项式，（6.7）其中，将（6.7）两次积分得：Ai和Bi为积分常数。因为所以它满足方程：（6.8）求Mi，确定S(x)的表达式。微分（6.8）式于是由得各项除以hi+hi+1，并记则（6.9）可以
3、写为（6.9）端点条件最后一个方程。若取M0=Mn=0，称为三次自然样条。（1）给定补充（6.9）的第一个和有（2）给定两端点导数值分别补充为方程组（6.9）的第一个和最后一个方程组。解方程组经补充后的方程组（6.9）为其中，对端点条件（1），有（6.9）对端点条件（2），有（6.10）是一个三对角方程组，可用追赶法解之。此方程组系数严格对角占优！从而存在唯一解。求出了Mi(i=0,1,…,n)，也就求得了S(x)在各个小区间的表达式Si(x)（i=0,1,2,…,n）若取等距节点hi=h,i=1,…,n–1例1.对于给定的节点及函数值解：由M关系式将上述结果代入定理
4、.最后，介绍一个有用的结果------(9)三次样条插值的m方法加以整理后可得------(10)------(11)由条件由于以上两式相等,得------(12)(12)式称为基本方程组如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件:------(5)------(5)基本方程组(12)化为n-1阶方程组------(13)即将(13)式化为矩阵形式------(14)这是一个三对角方程组如果问题要求满足第二类(二阶自然)边界条件:------(6)由(11)式,可知------(15)----(16)------(17)------(18)与基本方程组(12)联合,并化为
5、矩阵形式,得-----(19)(19)式与(14)一样,都是三对角方程组,并且都严格对角占优可以使用追赶法求解,并且解是唯一的对于问题要求满足第三类(周期)边界条件请同学们自己思考现在回到(10)式例1.对于给定的节点及函数值解:由(12)式可得由(19)式得基本方程组将上述结果代入(10)式
