最新4根轨迹2解析幻灯片.ppt

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1、4根轨迹2解析规则四根轨迹的渐近线当k=0时，对应与实轴有最小夹角的渐近线。尽管这里假定k可以取无限大，但随着k值的增加，渐近线与实轴正方向的夹角会重复出现，并且独立的渐近线只有(n-m)条。例4-2已知一四阶系统的特征方程为试大致绘制其根轨迹。已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4一个开环零点：-1n-m=4-1=3渐近线与实轴交点：渐近线与实轴正方向的夹角：例4-2已知一四阶系统的特征方程为试大致绘制其根轨迹。图4-4例4-2根轨迹图作业：设系统的开环传递函数试确定根轨迹的分支数、起点和终点、实轴上的根轨迹

2、，若终点在无穷远处，试确定渐近线与实轴的交点和夹角。规则五根轨迹的分离点和会合点两条或两条以上的根轨迹分支在复平面上相遇又分开的点称为分离点。一般常见的分离点多位于实轴上，但有时也产生于共轭复数对中。如果实轴上相邻两极点（或两零点）之间的线段属于根轨迹，则它们之间必存在分离点（或会合点）。分离点是特征方程的重根，因此有注意：利用重跟法确定的坐标只是必要条件，而不是充分条件利用上式求出的分离点，必须位于根轨迹上，否则应当舍去。检验的方法是分离点所对应的增益K必须大于零！！分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角实轴上分离点的分离角恒

3、为±90度。或分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点分离点的坐标d是下列方程的解由闭环特征方程得：根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程有重根出现，设重根为d，根据代数方程中重根条件，有：两式相除：分离点的特性根轨迹是对称的，所以根轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，则在这两个零点之间至少存在一个分离点；分离角是根轨迹进入

4、分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角当有l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角由（2k+1）π/l决定。当l=2时，分离角必为直角。例4-3对于例4-2给出的四阶系统，试确定其分离点坐标。已知系统的开环传递函数试确定实轴上的根轨迹的分离点和会合点的位置例：已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。规则1、2、3确定条数、起点终点根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点0、－2、－3，终止于一个开环有限零点－1和二个无限零点。根轨迹对称于实轴。规则4实轴上0到－1和－2到－3两个区域段为根轨迹规则5根轨迹有两条渐近线（n－m＝2),令

5、k=0规则6在实轴上有根轨迹分离点，且在区段－2到－3之间规则六根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚数的根，系统处于临界稳定。将s=jω代入特征方程，令实部和虚部等于零，则有解上式，就可以求得根轨迹与虚轴的交点ω坐标，以及此交点相对应的临界参数Kc例4-4求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。例：系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程系统稳定的临界K’值：K’=6阵列中s2行元素构成辅助方程根轨迹与虚轴的交点例：系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。代入系统闭环特征方程规则七根轨迹

6、的起始角和终止角起始角p:从开环复数极点出发的一支根轨迹，在该极点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹起始角的一般计算式(0～360°)k＝0，1，…证明终止角z:进入开环复数零点处根轨迹的切线与实轴之间的夹角。根轨迹终止角一般计算式(0～360°)证明：根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1相角方程s1p1起始角p绘制根轨迹图的基本法则根轨迹的起点和终点根轨迹分支数根轨迹的连续性和对称性实轴上的根轨迹根轨迹的渐近线根轨迹的分离点根轨迹的起始角和终止角根轨迹与虚轴的交点规则一根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称特征方程中的某些系数是连续变化参数K的函数，

7、这些系数也是连续变化的。系统的特征方程为代数方程，代数方程中的系数连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特征方程的根轨迹是连续的。由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨迹是对称于实轴的。仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。连续性和对称性规则二根轨迹的起点、终点和分支数系统的根轨迹起点为n个开环极点，终点为m个开环有限值零点及n-m个无穷大零点。由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K的变化出现n条根轨迹。根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环极点的

8、个数，也等于开环极点的数目。规则三实轴