最新根轨迹幻灯片.ppt

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1、根轨迹前已述及，闭环系统的动态性能与闭环极点在s平面上的位置密切相关。所以在分析系统的性能时，往往要求确定系统的闭环极点的位置。另外，在分析或设计系统时，经常要研究一个或几个参量在一定范围内变化时，对闭环极点的位置以及系统性能的影响。闭环极点就是特征根，为了求解特征根，需将特征多项式进行因式分解。2但对于高阶系统不太容易，特别当系统某一参数变化时，需要反复地进行计算，更是不现实。所以伊万斯首先提出了求解特征根的图解方法——根轨迹法。所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在s平面上移动的轨迹。根轨迹法是在已知系统的开环零、极点条件下，绘制出系统闭环特

2、征根在s平面上随参数变化时运动的轨迹。本章序言(续)3定义根轨迹方程为因ｓ为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相角方程。相角方程为幅值方程为或7若s平面上的点是闭环极点，则它与zi、pj所组成的相量必定满足上述两方程，而且幅值方程与Kr有关，而相角方程与Kr无关。所以满足相角方程的s值代入幅值方程中，总能求得一个对应的Kr，即s若满足相角方程，必定就满足幅值方程。绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而幅值方程用来确定根轨迹上各点对应的Kr值。★相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。84.2绘制根轨迹的方法4.2.1绘制根轨迹的基本规则4.2.2根轨迹绘制举例91.根轨迹的对称性和分支

3、数4.2.1绘制根轨迹的基本规则闭环特征根如果是实数根，则分布在ｓ平面的实轴上；如果是复数根，则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反，如图所示。因此，形成的根轨迹必定对称于实轴。当Ｋｒ取某一数值时，ｎ阶特征方程式有ｎ个确定的根。当Ｋｒ＝０→∞变化时，每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，ｎ个根也就形成ｎ条根轨迹。根轨迹对称于实轴，其分支数等于开环极点数n和开环零点数m中的最大数。102.根轨迹的起点和终点考虑到根轨迹起始处Kr＝０，故根轨迹幅值方程为而根轨迹终点处Kr→∞,有m条根轨迹终止于开环传递函数的零点，n-m条终止于无穷远。根轨迹起始于开环传递函数的极点，终

4、止于开环传递函数的零点或无穷远。使等式成立的条件是11例４-１已知系统的开环传递函数为试确定系统的根轨迹图。解:系统的开环零、极点为p1=0,p2=-1,p3=-2，z1=-1+j,z2=-1-j，根轨迹如图４-５所示。图中，“×”表示开环传递函数的极点，“°”表示开环传递函数的零点。系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点，其中两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。123.实轴上的根轨迹段实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开环零、极点数目之和应为奇数。设系统的开环零、极点分布如图所示。在实轴上p1与p2之间任取一点s1，s1与开环零、极点的矢量如图４-６中的

5、箭头线所示。s1对应的相角为满足相角相角方程，即该区段是根轨迹段。13例4-2已知系统的开环传递函数为试画出该系统的根轨迹图。图4-7τ>T时的根轨迹图4-8τ

6、在无限远处有一点，则s平面上所有开环有限零点和极点到的矢量长度都相等。可以认为：对无限远闭环极点而言，所有的开环有限零点、极点都汇集在一起，其位置为，这就是渐近线与实轴的交点。幅值条件：1718结论趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定：渐近线与实轴的夹角渐近线与实轴的交点例4-3已知系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹图195、根轨迹的会合点和分离点：若干支根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。有开环极点，零点从即处出发在A点相遇分离，到B点相遇会合。当时根轨迹一支走向另一支走向，A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。一般，若实轴上两相邻开环极点之间有

7、根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个是可能是无限大零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。例：20设系统的开环传递函数为闭环特征方程为根据重根的条件，必须同时满足以下两式则整理后，得分离会合点的必要条件式为只有位于根轨迹上的重根才是分离点或会合点21例4-4已知系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图。解(1)开环零、极点为p1=-1，p2=-2，z1=-3。(2)实轴上的根轨迹段为p1～p2段和z1～-∞段。(3)n-m=1，