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《第三章空间向量与立体几何.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、个人收集整理勿做商业用途第三讲 空间位置关系与综合题目的向量解法[知识梳理][知识盘点］一．平行关系（1）所谓直线的方向向量，就是指 的向量，一条直线的方向向量有 个。（2）所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有 个。1．线线平行证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是 ,也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。2线面平行证明线面平行的方法：（1)证明直线的方向向量与平面的法向量 ；（2）证明能够在平面内找
2、到一个向量与已知直线的方向向量 ；(3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是 。 3．面面平行的证明方法:(1）转化为 、 处理;(2）证明这两个平面的法向量是 。二．垂直关系4．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是 ；5．线面垂直的证明方法:（1)证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是 ;(2）证明直线与平面内的
3、 ;6．面面垂直的证明方法：（1）转化为证明 、 ；（2)证明这两个平面的法向量是 。［特别提醒］1。用向量证明立体几何问题，有两种基本思维：一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断；别一种是用向量的坐标表示几何量，共分为三步进行判断:（1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2．用向量知识证明立体几何问题
4、,仍然离不开立体几何定理.例如要证明线面平行，只需要证明平面中的一条直线和平面内的一条直线平行，即转化为证明线线平行问题，也就是用向量方法证明直线时,只需要证明直线的方向向量共线即可。3．向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，只有掌握了向量运算的各种几何意义,才能较好地利用向量这一工具解决实际问题.4．以柱体、锥体为依托,考查空间中的线线、线面、面面关系，以及角和距离是高考的“热点”个人收集整理勿做商业用途，在角题时,应深入挖掘里面的特殊关系，尤其是垂直关系,建立空间直角坐标系，是解决此类
5、问题的关键.[基础闯关］1．正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是（）（A）(B）(C)（D）与点的位置有关2．在正方体中,是底面的中心,分别是棱、的中点，则直线(）(A）是与的公垂线（B）垂直于，但不垂直于（C)垂直于，但不垂直于(D)与、都不垂直3．在正方体中，是异面直线和的公垂线,则直线与的关系是（)(A）异面直线(B)平行直线（C）垂直但不相交（D)垂直相交4．空间中有四点，其中，,且，则直线和（)(A）平行（B）平行或重合（C)必定相交(D)必定垂直5．设是平面外一点，点满足
6、，则直线与平面的位置关系是 。6．已知矩形中，平面,且，若在边上存在一点，使得，则的取值范围是 。［典例精析］例1．已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面［剖析］证明线面平行问题，可以有以下三种方法:(1）利用线面平行的判断定理，转化为线线平行问题；(2）向量与两个不共线的向量共面的充要条件是存在实数对，使得，利用共面向量基定理可以证明线面平行问题；（3）设为平面的法向量,要证明直线平面,只需要证明即可。zCxDyBAC1B1A1[解］证法一：建立如图所示的空间直角坐标系,设正三棱柱的
7、底面边长为，侧棱长为，则从而设平面的法向量，由，得个人收集整理勿做商业用途取,得，由，得，即平面.证法二：如图所示，记，则，，共面,平面，平面［警示］利用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直关系问题,主要运用了直线的方向向量与平面的法向量的，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理.另外,利用向量知识解题，一般不需要添加辅助线，只是利用向量运算及向量基本定理,把要证明的直线或平面用该平面内的向量表示即可。［变式训练］NMD1DCBAC1B1A11．如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为，分别是
8、和上的点,，求证：平面.例2．(2006年山东高密调研）如图，在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。（Ⅰ）求证:EF⊥CD；（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论。［剖析］证明线线垂直问题,可以利用线线垂直的判定定理，或者证明这两条直线
