平稳时间序列模型及其特征.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型(AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：Ｘt=φＸｔ-１＋εｔ　　　　　　　　(２.1．1)常记作AR(1)。其中{Xt}为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为Xt对Xt-1的依赖程度,εt为随机扰动项序列（外部冲击）。如果Xt　与过去时期直到Xｔ-ｐ　的取值相关，则需要使用包含Ｘt－１　，……Xt-p在内的p

2、阶自回归模型来加以刻画。Ｐ阶自回归模型的一般形式为：Xt＝φ1Xt-１+φ2Xｔ-2+…+φpＸｔ－p+εｔ（2．１.2)为了简便运算和行文方便,我们引入滞后算子来简记模型。设B为滞后算子，即BＸt＝Ｘt-１,则B(Ｂk-1Xｔ)=BkXt＝Xt-kＢ（Ｃ）＝Ｃ(Ｃ为常数)。利用这些记号,（2.1.2)式可化为：Ｘｔ=φ１ＢＸt＋φ2B2Ｘｔ+φ３B3Ｘｔ+……＋φpBpXt＋εt从而有:（１-φ１Ｂ-φ2Ｂ２－……－φpBp)Xt=εt个人收集整理勿做商业用途记算子多项式φ(Ｂ）=（1-φ１B-φ２B２-……－φpＢP),则模型可以表示成ﻩﻩφ（B

3、）Xt=εt　　　　　　　(２.1.3)例如，二阶自回归模型Xt=0.7Ｘｔ－1+0.3Ｘt-２+０.３Ｘt－3+εt可写成（１－0.7B-0.３B2)Xｔ＝εt二、滑动平均模型(MＡ)　有时,序列Ｘt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情况下,Ｘt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即Ｘt=εt-θ1εt-１-θ2εt-2-……-θqεt－q　　　(2.1.4)此模型常称为序列Xt的滑动平均模型,记为MＡ(q）,其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。相应的序列Xｔ称为滑动平均序列。使用滞后算子记号，(2.１.４）可

4、写成Xt=(１-θ１B－θ2B2－……-θqBq)qt=θ(B）εｔ　　　　(2.１.5）三、自回归滑动平均模型ﻩ如果序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时,模型中既包括自身的滞后项,也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型,其一般结构为：Xt=φ1Xt-1＋φ2Xt-2＋……+φpXｔ-p+εt-θ１εt-1-θ2εt－2-……-θqεt－q　　　(2.1．6)个人收集整理勿做商业用途简记为ARMＡ(p,q）。利用滞后算子,此模型可写为ﻩﻩﻩφ(B）Xt

5、=θ(B)εt　　　　（2．1.7）第一节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介绍两个概念。①序列的传递形式:设｛Ｙｔ}为随机序列，{εt｝为白噪声，若{Ｙｔ}可表示为:Yt＝εｔ+G１εt-1+G2εt-2+……+Ｇkεt-k+……＝G（B）εｔ且,则称{Ｙｔ}具有传递形式,此时｛Yｔ}是平稳的。系数｛Gk}称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。②序列的逆转形式：若{Ｙt}可表示为：εｔ=Yt-π１Ｙt－1-π2Yｔ-２-……-πkYt-k-……＝π（B）Ytﻩ且,则称{Ｙｔ}具有逆转形式(或可逆形式)。一、ＭＡ模型1.MA

6、模型本身就是传递形式。2.MA（q）总是平稳的(由上一章的例),MA(∞)在系数级数绝对收敛的条件下平稳。3.MA（q)模型的可逆性条件。个人收集整理勿做商业用途先以MA(１）(Yｔ=εt-θ1εｔ-1)为例进行分析。ＭA(1)的可逆性条件为:。如果引入滞后算子表示ＭA(1）,则Yt=(１-θ1B）εｔ,可逆条件等价于θ(B)=1－θ１B=0的根全在单位圆外。ﻩ对于一般的MA(q）模型,利用滞后算子表示有:ﻩﻩYt＝(1－θ1B-θ２Ｂ2－……－　θｑＢq)εｔ=θ(Ｂ)εt其可逆的充要条件是:θ(B)＝0的根全在单位圆外（证明见Ｂoｘ-Jｅnkin

7、s,Ｐ79）。在可逆的情况下，服从MA（q)模型的序列可以表示成无穷阶的AＲ模型:θ－1(B)Yt=εtMＡ(q)的可逆域：使θ(B)=0的根全在单位圆之外的系数向量(θ1，θ2,……,θq）所形成的集合。ﻩ例：求MA(2)的可逆域。解:由，其特征方程为:该方程的两个根为：由二次方程根与系数的关系，有个人收集整理勿做商业用途当MＡ（2）平稳时,根的模都必须大于1，因此必有:由根与系数的关系,可以推出如下式子:由于是实数，必同为实数或共轭复数。又因为,因此故反之,如果,且。那么从可以推出至少有一个,例如，假设,则根据可推出,由可以推出,从而。因此,的根

8、在单位圆之外。（平稳域为一三角形)。一、AＲ模型1.ＡR（P)模型本身就是一种逆转形式。2.平稳性。个人收集