高等数学2.-4--高阶导数.ppt

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1、一、高阶导数的定义二、几个初等函数的n阶导数三、函数和差、积的n阶导数上页下页结束返回首页§2.4高阶导数一、高阶导数的定义如果函数yf(x)的导数yf(x)仍然是x的可导函数。则把yf(x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数，记作类似地，二阶导数y=f(x)的导数叫做函数y=f(x)的三阶导数，记作下页一般地，函数y=f(x)的(n1)阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数，记作我们把yf(x)的导数f(x)叫做函数yf(x)的一阶导数，把二阶及二阶以上的

2、导数统称高阶导数。例1．y=axb，求y。例2．ssinwt，求s。ya，解：y0。解：swcoswt，sw2sinwt。首页二、几个初等函数的n阶导数例3．求函数yex的n阶导数。即(ex)(n)ex。一般地，可得y(n)ex，yex，解：y(4)ex，yex，yex，下页例4．求正弦函数和余弦函数的n阶导数。解：ysinx，一般地，可得二、几个初等函数的n阶导数下页例5．求函数ln(1x)的n阶导数。一般地，可得y=(-1

3、)(-2)(1+x)-3，y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4，y(n)=(-1)(-2)(-n+1)(1+x)-n下页例6．求幂函数yxm(m是任意常数)的n阶导数公式。解：ymxm1，而(xn)(n1)0。(xn)(n)m(m1)(m2)321n!。当mn时，得到即(xm)(n)m(m1)(m2)(mn1)xmn。y(n)m(m1)(m2)(mn1)xmn，一般地，可得y(4)m(m1)(m2)(m

4、3)xm4，ym(m1)(m2)xm3，ym(m1)xm2，首页这一公式称为莱布尼茨公式。函数和差的n阶导数：函数积的n阶导数：用数学归纳法可以证明(uv)(n)u(n)v(n)。(uv)uvuv，(uv)uv2uvuv，(uv)uv3uv3uvuv，三、函数和差、积的n阶导数下页例7．yx2e2x，求y(20)。解：设ue2x，vx2，则y(20)(x2e2x)(20)代入莱布尼茨公式

5、，得v2x，(u)(k)2ke2x(k1,2,,20)，(v)(k)0(k3,4,,20)，v2，220e2x(x220x95)。结束莱布尼茨公式：