第5章-相似矩阵及二次型.ppt

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1、方阵的特征值与特征向量相似对角化二次型化简第页共88页1、内积一、向量的内积、长度及正交性（数值）外积（矩阵）性质第页共88页2、向量的长度模性质向量的长度（范数）.第页共88页3、施瓦茨（Schwarz）不等式△为向量x与y的夹角第页共88页4、正交第页共88页证明若n维向量是一组两两正交的定理1非零向量，则线性无关第页共88页解：例1已知正交，求，使得为正交向量组由即求方程组的一个解第页共88页５、规范正交基已知V为n维向量空间若V中的一组基，满足则称为V的一个规范正交基第页共88页例如第页共88页若已知V中的一组规

2、范正交基，则，有也即a在下的坐标第页共88页6、规范正交化给定n维向量空间若已知V的一组基，如何从它出发求一组规范正交基Q:如为V的一组基第页共88页1)施密特(Schimidt)正交化取即第页共88页以此类推，得2)单位化第页共88页例解：第页共88页7、正交矩阵n阶方阵A，满足（即）则称A为正交阵。单位向量正交第页共88页结论：A正交A的列向量都是单位向量，且两两正交A正交A的行向量也是两两正交的单位向量性质1、A正交，则也正交，且2、正交矩阵的乘积仍为正交矩阵第页共88页性质正交变换保持向量的长度不变．8、正交变换A正

3、交，称为正交变换如：旋转变换第页共88页求一单位向量，使它与正交．思考题第页共88页第页共88页二、方阵的特征值与特征向量1、定义A为n阶方阵，若则称为A的一个特征值，x为对应的特征向量第页共88页例1求矩阵的特征值和特征向量第页共88页求A的特征值问题归结为行列式的求解第页共88页的n阶多项式，称为A的；对应的方程称为A的有n个根（实根、复根）可以有重根实特征向量实特征向量0¹ix第页共88页定理设为A的n个特征值，则求证：若n阶矩阵A满足R(A)

4、特征向量对应的特征向量的秩：第页共88页例２解2重根得第页共88页由第页共88页例３设求A的特征值与特征向量解2重根得第页共88页由第页共88页得由第页共88页例2例3重根对应特征向量空间的秩可能不同第页共88页定理设是方阵A的特征值，对应的特征向量，则P122例9第页共88页定理设是A的m个互不相等的特征值，为对应的特征向量，则线性无关（归纳法——反证法）①m=2②设当n=m-1时成立，当n=m时，……第页共88页注意１、属于不同特征值的特征向量线性无关2、属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量

5、3、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，对应一个特征值的特征向量不唯一；而一个特征向量不能属于不同的特征值第页共88页第页共88页（反证法）例4都是A的特征值，为对应的特征向量，则不是A的特征值证明：求证：第页共88页习题若4阶方阵A满足：求的一个特征值第页共88页三、相似矩阵定义则称B与A相似。A、B为n阶方阵，若可逆，使得定理A、B相似，则A、B特征多项式相同，即它们的特征值相同。第页共88页推论的特征值为L若A与L相似，第页共88页利用对角矩阵计算矩阵多项式k个第页共88页第页共88页对角化若A可对角化（相似于

6、对角矩阵）则可逆，使得即第页共88页定理4A可对角化A有n个线性无关的特征向量推论若A有n个互不相同的特征值A有n个线性无关的特征向量A可对角化第页共88页有重根可对角化？当重根对应维向量组时可对角化，则对应于有个无关的特征向量，可对角化。第页共88页例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解第页共88页即矩阵可对角化2重根对应2个线性无关的特征向量第页共88页故不能化为对角矩阵.解第页共88页A能否对角化？若能对角例2解其对应的特征向量为：第页共88页可对角化.第页共88页注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．第

7、页共88页习1三阶方阵之特征值为1，-1，2，设试求习2第页共88页性质四、对称矩阵的对角化对称矩阵A一定可以对角化第页共88页定理6即第页共88页给定一个对称阵A，将AQ:将A（对称）对角化的步骤：第页共88页注：第页共88页例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.解(1)第一步求的特征值第二步求特征向量第页共88页第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化第页共88页得P=第页共88页思考题第页共88页思考题解答第页共88页五、二次型及标准形1、二次型对二次曲线椭圆若双曲线圆第页共88页如何讨论的几何性质？

8、线性变换只含平方项无交叉项标准形第页共88页2、定义(二次型)第页共88页例如都为二次型；为标准形.第页共88页3、二次型的矩阵表示第页共88页给定一个二次型，写出其相应的矩阵表示Q:例第页共88页由此，二次型f与对称矩阵A之间存在一一对应的关系．A称为f的矩阵，f称为A的二次型，A的秩称