化二次型为标准型的方法.docx

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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。化二次型为标准型的方法一、绪论高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景,以线性变换为方法,以矩阵为工具,着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数,其内容本应属于函数讨论的范围,然而二次型用矩阵表示之后,用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确,二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形,也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项,即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线

2、、二次曲面的化简问题,其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题,而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用,因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。我们知道,任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定,而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵,相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法:配方法和正交变换法;另外,由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵,因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。经过典型例题,更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性,我们应熟

3、练掌握各种方法。以下就是几种方法的简单介绍,而且又提出了一种新的方法:雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。二、二次型及其矩阵表示在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程是ax22bxycy2f.资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。(1)为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们能够选择适当的角度,作转轴xx'cosy'sin(反时针方向转轴)x'siny'cosy(2)把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。(1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方

4、程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现,而且数学的其它分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P是一数域,一个系数在数域P上的x1,x2,...,xn的二次齐次多项式f(x1,x2,...,xn)a11x122a12x1x2...2a1nx1xna22x22...2a2nx2xn...annxn2称为数域P上的一个n元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。设x1,x2,...,xn;y1,y2,...,yn是两组文字,系数在数域P中的一组关系式x1c11y1c12y2...c1nynx2c21

5、y1c22y2...c2nynx3c31y1c32y2...c3nyn(4)...........xncn1y2cn2y2...cnnyn称为由x1,x2,...,xn到y1,y2,...,yn的一个线性替换,。如果cij0,那么线性替换(4)就称为非退化的。在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另aij=aji,i

6、学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。Aa11a12a1na21a22a2nan1an2anm它就称二次型的矩。然它是称矩。x1令x2Xxn于是二次型可写成f(x1,x2,...,xn)=X'AX非退化性替能表示成X=CY三、化二次型准形的方法之一:配方法定理:数域P上任意二次型都能非退化的性替成平方和的形式,即准形。明:下面的明就是一个具体的把二次型化成平方和的方法,也就是”配方法”。我量的个数做数学法。于n=1,而二次型就是f(x1)a11x12已是平方和的形式了。假定n-1元二次型,定理的成立。再假nnf(x1,x2,...,xn)aijxixj(aij=aji)

7、i1j1分三种情况来:1)aii(i=1,2,⋯,n)中是少有一个不零,例如a110。2nnnn+a1jx1xj+ai1xix1+aijxixjf(x1,x2,...,xn)=a11x1j2i2i2j=2nnn=a11x12+2a1jx1xj+aijxixjj2i2j=2资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。n2n2nn=a11x1a111a1jxj-a111a1jxj+aijxixjj2j2i2j=2n2nn=a11x1a111a1jxj+b