《综合法和分析法》.ppt

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1、2021/9/18孝高蒋志方12.2.1综合法和分析法演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。条件给出方程的两根是，，那么这两根是什么？用a、b、c怎样表示？由初中的求根公式我们可以表示方程的根。例2已知和是方程的两个根。求证：分析：由求根公式得：证明：所以本题的证明形式又是怎样的？因果例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2

2、)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:１.综合法——由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(又称顺推证法)探索求知注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…例题讲解例1已知：是不相等的正数，求证：证明：要证需证需证需证需证且由于是不相等的正数，所以能保证上

3、式成立，则命题得证。本题的证明形式有何特点？？从哪里出发？果因2.分析法探索求知从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）——执果索因注：用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…证法1:对于正数a,b,有证法2:要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结

4、为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式例2求证：证明：要证即证即证即证由于显然成立，所以命题成立。分析：由于含根号，所以考虑将根号去掉。果因直接证明(回顾小结)分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念求证：是函数的一个周期。证明：因为所以，由周期函数的定义可知：是函数的一个周期。例.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂

5、足为F,求证AF⊥SCFESCBA解析:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立巩固练习1.在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：把题中的文字语言转化为符号语言：A+C=2B⑴，b2=ac⑵由（1）联想到内角各能得到什么？由（2）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论证明：由A

6、，B，C成等差数列，有2B=A+C①由①②，得②③由啊，a，b，c成等比数列，有④由余弦定理及③，可得再由④，得因此，a=c从而有A=C由②③⑤，得证:2：上述过程可用框图表示:3.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.[分析]条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过程就是综合法．由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2得证．综合法：证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列，∴B＝60°.

7、由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，得c2＋a2＝ac＋b2，等式两边同时加上ab＋bc得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，直接证明（综合法和分析法）上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述；相同不同证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路