圆中的三角函数题解题策略.doc

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1、圆中的三角函数题解题策略解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：ACBDO图1一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中例1(成都市)如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，，BC=1，那么sin∠ABD的值是．解析：在⊙O中，∠ACD=∠ABD；又由于AB为⊙O的直径，CD⊥AB，则∠ACD=∠ABC.Rt△ABC中，AB===3,从而sin∠ABD==.评注：借用“同弧所对圆周角相等

2、”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。二、用直径与所对圆周角构造直角三角形例2(烟台市)如图2，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么等于A．sinαB．COSαC．tanαD．解析：连结BD,由于AB为直径,则∠ADB=90°,图2于是,在Rt△PBD中,有COSα=,而点C和点A在圆周上，所以∠A=∠C，又∠APB=∠CPD，则△APB∽△CPD，从而=，所以=COSα，故选B。评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关

3、注直径所对圆周角。图3三、用切线与半径的关系构造直角三角形例3(金华市)如图4，是⊙O的切线，为切点，是⊙O的弦，过作于点．若，，．求：（1）⊙O的半径；（2）的值；（3）弦的长（结果保留两个有效数字）．解析：（1）因为是⊙O的切线，所以，则，从而OA=5．（2）因为OH⊥AC，所以∠OHA＝90°，则sin∠OAC==．（3）因为OH⊥AC，所以，AH=CH，则=25-4=21，所以AH=，于是AC=2AH=2≈9.2．评注：根据切线的意义，可知，切线垂直于经过切点的半径。借此，可得直角三角形，从而可以运用三角函数解决有关问题。四、转化条件中

4、的垂直关系构造直角三角形例4(武汉市)如图4，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。(1)求证：直线EF是⊙O的切线；ABDCEFGO图4(2)求sin∠E的值。解析：（1）证明：如图5,连结OD、CD，因为BC是直径，所以CD⊥AB，而AC=BC，则D是AB的中点又因为O是CB的中点，所以OD//AC由于DF⊥AC，则OD⊥EF，于是EF是⊙O的切线.（2）连结BG，因为BC是直径，所以∠BGC=90°在Rt△BCD中，CD===8而AB·C

5、D=2=AC·BG,图5则有BG===.在Rt△BCG中，CG===;又因为BG⊥AC，DF⊥AC，所以BG//EF,则∠E=∠CBG,从而sin∠E=sin∠CBG===评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.