《初中同步测控全优设计》2013-2014学年华师大版七年级数学上册例题与讲解：第5章5.1 相交线.doc

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1、5.1　相交线1．对顶角(1)对顶角概念如图，直线AC与BD相交于O点，则图中形成了四个角，分别是：∠1，∠2，∠3与∠4.∠1和∠3具有相同的顶点，且∠1的两边OA，OC分别与∠3的两边OB，OD互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角．∠2和∠4也是对顶角．谈重点对顶角概念的理解　①对顶角必须具备两个条件：一是有公共顶点；二是两边互为反向延长线．②对顶角是成对出现的，且具有特殊的位置关系，主要反映角的位置关系．(2)对顶角性质性质：对顶角相等，即：∠1＝∠3，∠2＝∠4.【例1－1】下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为(　　)．解析：根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一

2、个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A，B，C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；D是由两条直线相交构成的图形，正确．故选D.答案：D【例1－2】如图，AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，求∠AOD和∠AOC的度数．分析：观察图形可以发现，∠AOD和∠BOD互为补角，∠AOC和∠BOD互为对顶角，所以只要求出∠BOD的度数，然后利用互补和对顶角的性质即可解决问题．解：因为OB是∠DOE的平分线，所以∠BOD＝∠DOE＝×60°＝30°.所以∠AOC＝∠BOD＝30°，∠AOD＝180°－∠BOD＝1

3、80°－30°＝150°.解技巧利用对顶角、邻补角解决问题时要仔细观察图形　利用对顶角、邻补角解决问题，应注意图形中哪些是互补的角，哪些是对顶角，在解决问题时用到哪些对顶角和互补的角．2.垂线(1)垂线的定义：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB，CD互相垂直，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．注意：两条射线或线段的垂直，指的是它们所在的直线相互垂直．(2)画垂线①用量角器画垂线，相当于利用量角器作一个90度的角．a．经过直线上一点画已知直线的垂线先让量角器的底线落在

4、已知直线上，并使量角器底边的中心点与直线上已知的点O重合，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过O，C两点作直线OC即可．b．经过直线外一点画已知直线的垂线先让量角器的底线落在已知直线上，并使量角器90度的垂直线经过直线外的点P，再在量角器90度所对的位置处标出一点C，拿走量角器，过P，C两点作直线PC即可．②用三角板画垂线，利用三角板画垂线，主要是利用三角板中的直角．a．落：使三角板的一条直角边落在已知直线上；b．过：移动三角板，使三角板的另一直角边经过已知点；c．画：沿过已知点的直角边画直线．(3)垂线段：过一条直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段；从

5、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．注意区分两组概念：①垂线与垂线段：它们都具有垂直于已知直线的共同特征，但垂线是一条直线，不能度量，而垂线段是一条线段，可以度量长度，它是垂线的一部分．②两点之间的距离与点到直线的距离：两种距离都是指线段的长度，是一种数量关系，都具有“最小”的特征，但前者是指连接两点的线段的长度，后者是指点到直线的垂线段的长度(可以化归为这点与垂足之间的线段长)．(4)垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．【例2】如图，∠1＝53°，∠2＝37°，CD与CE的位置关系是__________．

6、解析：先求出∠DCE的度数，再根据度数判定位置关系．因为∠DCE＝180°－∠1－∠2＝180°－53°－37°＝90°，所以CD⊥CE.答案：垂直解技巧证明两直线垂直的方法　垂直的定义为我们提供了一种证明垂直的方法和途径，若要证明两直线垂直，只需要证明两直线相交所成的四个角中有一个是直角即可．3．相交线中的角(1)同位角、内错角、同旁内角的定义：①如图，∠1和∠5分别在直线AB，CD的上方，并且都在直线EF的右侧，像这样位置的一对角叫做同位角．②如图，∠3和∠5这两个角都在直线AB，CD之间，并且∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧，像这样位置的一对角叫做内错角．③如图，∠3和∠6这两

7、个角都在直线AB，CD之间，并且在直线EF的一旁，像这样位置的一对角叫做同旁内角．(2)同位角、内错角、同旁内角的识别：①定义法：根据定义两个角共涉及三条直线，两角的一边分别在两条直线上，而另一边在同一直线上，两角有“共线边”是定义的实质，抓住“一边共线”便不难识别．如图甲中的∠1和∠2，涉及EF，MG，ND三条直线，且它们都有边在直线EF上，故∠1和∠2是同位角．又如图乙中的∠1和∠2是否为同位