《初中同步测控全优设计》2013-2014学年华师大版七年级数学上册例题与讲解：第2章2.4　绝对值.doc

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1、2.4　绝对值1．绝对值的概念及表示(1)绝对值的几何意义我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．记作

2、a

3、.这是绝对值的几何意义，例如：10到原点的距离是10；－10到原点的距离也是10，所以10与－10的绝对值相等，都是10.记作：

4、10

5、＝10，

6、－10

7、＝10.谈重点绝对值的几何意义　绝对值的几何意义与数的正、负无关，只与表示该数的点到原点的距离有关．(2)绝对值的代数意义一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数．用字母表示为：若a＞0，则

8、a

9、＝a；若a＜0，则

10、a

11、＝－a；若a＝0，则

12、a

13、＝0.也可以归纳如下：

14、a

15、＝或

16、a

17、＝从代数

18、角度来看：绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.【例1】根据绝对值的概念，求下列各数的绝对值：－1.6，，0，－10，＋10，－a(a＞0)．分析：，＋10是正数，绝对值等于其本身；－1.6，－10是负数，绝对值等于其相反数；0的绝对值是0；因为a＞0，所以－a是负数，其绝对值等于它的相反数a.解：

19、－1.6

20、＝1.6；＝；

21、0

22、＝0；

23、－10

24、＝10；

25、＋10

26、

27、＝10；

28、－a

29、(a＞0)＝a.2．绝对值的非负性一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．由于距离是一个非负数，所以任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a取何值，都有

30、a

31、≥0.例如

32、2

33、＝2，

34、－2

35、＝2，

36、0

37、＝0.一个数在数轴上表示的点离原点的距离越远，绝对值越大；离原点越近，绝对值越小.0的绝对值可以看成是原点到原点的距离，因此仍然是0.谈重点数的大小与绝对值大小的关系　正数越大，它的绝对值越大；负数越小，它的绝对值越大；绝对值最小的数是0.【例2】已知

38、x－4

39、＋

40、y－1

41、＝0，求x，y的值．分析：因为任何有理数的绝对值都是非负数，即

42、a

43、≥0，所以

44、x－4

45、≥0，

46、y－1

47、

48、≥0，而两个非负数之和为0，则两个数均为0，所以可求出x，y的值．解：因为

49、x－4

50、≥0，

51、y－1

52、≥0，又

53、x－4

54、＋

55、y－1

56、＝0，所以只能

57、x－4

58、＝0，

59、y－1

60、＝0，即x－4＝0，y－1＝0，因此x＝4，y＝1.析规律非负数的性质　(1)若干个非负数的和仍是非负数；(2)有限个非负数的和为0，则每个非负数都为0；(3)非负数的最小值是0.3．绝对值的求法(1)利用数轴确定一个数的绝对值时，首先确定这个数在数轴上表示的点，然后再看一下这个点到原点的距离即可．(2)利用绝对值计算的法则，首先要判断这个数是正数、零，还是负数．如果绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身；如果

61、绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，此时去掉绝对值号时，就要把绝对值里的数添上括号，再在括号前面加上负号，如

62、－5

63、＝－(－5)＝5.解技巧求一个式子的绝对值的方法　求一个式子的绝对值时，要先根据题意判断这个式子的正负性，再根据法则化去绝对值符号．【例3】(1)若a＞3，则

64、a－3

65、＝__________；(2)若a＝3，则

66、a－3

67、＝__________；(3)若a＜3，则

68、a－3

69、＝__________.解析：要想正确地化简

70、a－3

71、的结果．关键是确定a－3的符号．当a＞3时，a－3＞0，即a－3为正数，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3；当a＝3时，a－3＝0，

72、所以

73、a－3

74、＝

75、0

76、＝0；当a＜3时，a－3＜0，即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得

77、a－3

78、＝－(a－3)．答案：(1)a－3　(2)0　(3)－(a－3)解技巧化简含有字母的式子的绝对值的方法　化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性，否则会出现错误．4．绝对值的性质(1)任何一个有理数均有绝对值，这个绝对值是唯一的，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤

79、x

80、；(2)有理数的绝对值是一个非负数，即

81、x

82、≥0，绝对值最小的数是0，且无最大的绝对值；(3)绝对值等于其本身的数是正数或0.反过来，如果一个数的绝对值是其本身，那么这个数必是正数或0

83、；(4)若两个数绝对值的和等于0，则这两个数分别等于0.即若

84、a

85、＋

86、b

87、＝0，则a＝0，b＝0；(5)已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数．【例4】如图，点A，B在数轴上对应的有理数分别为m，n，则A，B之间的距离是__________．(用含m，n的式子表示)解析：由点A，B在数轴上的位置可得，m＜0，n＞0，A，B间的距离AB＝

88、m

89、＋

90、n

91、＝－m＋n.答案：－m＋n5．利