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1、由动点形生成的特殊三角形问题例题1【2010重庆綦江县答案】解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6）∴c＝－6，即y＝ax2 ＋bx－6由解得：，∴该抛物线的解析式为方法二：∵A、B关于x＝2对称∴A（－8，0）设C在抛物线上，∴－6＝a×8×，即a＝∴该抛物线解析式为：（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC＝＝10＝AD∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：显然∠PDC＝∠QDC，由已知∠PDC＝∠ACD∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥ACDB＝AB－AD＝20－10＝10∴DQ为△ABC的中位线∴DQ＝AC＝5AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5
2、∴t＝5÷1＝5（秒）∴存在t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分在Rt△BOC中，BC＝＝∴CQ＝∴点Q的运动速度为每秒单位长度．（3）存在．如图，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9在Rt△PQH中，PQ＝＝①当MP＝MQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则：，解得：∴y＝3x－6当x＝1时，y＝－3∴M1(1，－3)②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点，设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得：42＋y2＝90，即y＝±∴M2（1，）；M3（1，－）③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点．过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于
3、F，则F（1，－3）设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得：，即y＝－3±∴M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1，）；M3（1，－）；M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）例题2【2010四川巴中答案】（1）∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，△ACO∽△CBO，∴，CO=2，DGH则C（0，2）；（2）抛物线过△ABC的三个顶点，则，∴，抛物线的解析式为；（3）点D（1，m）在抛物线上，，∴D（1，3），把直线y=－x－1与抛物线联立成方程组∴，∴E（5，－6）,过点D作DH垂直于x轴,过点E作EG垂直于x轴,DH=BH=3
4、,∴∠DBH=45°,BD=,AG=EG=6,∴∠EAG=45°,AE=,当P在B的右侧时,∠DBP=135°≠∠ABE,两个三角形不相似,所以P点不存在；当P在B的左侧时ⅰ)△DPB∽△EBA时，，，∴P的坐标为（，0），ⅱ)△DPB∽△BEA时，，，∴P的坐标为（，0），所以点P的坐标为（，0）或（，0）。【例题3（2010湖北荆门）答案】解：（1）∵由题意知:当x=0时,y=1,∴B（0，1）,当y=0时,x=－2,∴A（－2，0）∴解得,所以（2）当y=0时,,解得x1=1,x2=2,∴D(1,0)E(2,0)∴AO=3,AE=4.S=S△CAE－S△ABD，S=，S=4.
5、5,(3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F,∵Rt△BOP∽Rt△PFC,由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，∴．即,整理得:a2－4a－3=0,解得a=1或a=3,所以所求P点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P有两个.例题4(2010年厦门湖里模拟)答案：解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
6、（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得 解得∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8 （3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC∴＝ 即＝∴EF＝过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝ ∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m自变量m的取值范围是0＜m＜8 （4）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8
7、 且－＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形． 【练习1（2010重庆市潼南县）答案】解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)∴解得：b=－c=－1-------------------2分∴二次函数的解析式为--------3分（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）∴OD=m∴AD=2-m由△ADE∽△AOC得，--------------4分∴∴DE=----------
