苏教版(文科数学)圆锥曲线中的定点与定值问题单元测试.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(五十三)圆锥曲线中的定点与定值问题A组夯实基础1．(2018东·北三校联合模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E．(1)求E的方程；→→恒(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB过定点．(1)解：设P(x，y)，则x2＋y－22＝(y＋1)＋1?x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y．(2)证明

2、：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8x－8b＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝－8b．→→x12x222．OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b＝－16?b＝4，所以直线AB恒过定点(0,4)6422xyF1，F2，过F22．(2018濮·阳模拟)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积最大时，△AF1F2为正

3、三角形．(1)求椭圆C的方程；2

4、MN

5、(2)若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：

6、AB

7、为定值．(1)解：由已知A，B在椭圆上，可得

8、AF1

9、＋

10、AF2

11、＝

12、BF1

13、＝

14、BF2

15、＝2a，又△ABF1的周长为8，所以

16、AF1

17、＋

18、AF2

19、＋

20、BF1

21、＋

22、BF2

23、＝4a＝8，即a＝2，由椭圆的对称性可得，△AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，则a＝2c，即222c＝1，b＝a－c＝3，x2y2则椭圆C的方程为4＋3＝1．2

24、MN

25、＝4；(2)证明：若直线l的斜率不存在，即l：x＝1，求得

26、AB

27、

28、＝3，

29、MN

30、＝23，可得

31、AB

32、若直线l的斜率存在，设直线l：y＝(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，22xy代入椭圆方程＋＝1，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯可得(3＋42222－12＝0，)x－8x＋422－12有x1＋x2＝8k2，x1x2＝4k2，3＋4k3＋4k2

33、AB

34、＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝121＋k2，3＋4k由y＝x代入椭圆方程，可得x＝±23，3＋4k2

35、

36、MN

37、＝21＋k2·2322＝431＋k2，即有

38、MN

39、＝4．3＋4k23＋4k

40、AB

41、综上可得

42、MN

43、2为定值4．

44、AB

45、3．(2018娄·底模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点．(1)解：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，p所以＝1，所以p＝2．所以抛物线C的方程为y2＝4x．(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，t

46、2t2，t，－t．设A4，B4OA，OB的斜率之积为－1因为直线2，所以t－t12＝32．2·2＝－，化简得ttt244所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝x＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立方程组y2＝4x，消去x，得y2－4y＋4b＝0．y＝kx＋b4b由根与系数的关系得yAyB＝，OA，OB的斜率之积为－1因为直线2，yAyB122所以yAyB＋2yAyB＝0，·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0，即4·xAxB242⋯⋯⋯⋯

47、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解得yAyB＝－32或yAyB＝0(舍去)．4b所以yAyB＝＝－32，即b＝－8，所以y＝x－8，即y＝(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．B组能力提升1．(2018江·西模拟)已知椭圆x2y2＝1(a>b>0)的离心率为2C：2＋2，以原点为圆心，椭ab2圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y－2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)A，B分别为椭圆C的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，直线AM与椭圆交于点P(

48、与A点不重合)，以MP为直径的圆交线段BP于点N，求证：直线MN过定点．(1)解：∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y－2＝0相切．2∴原点到直线x－y－2＝0的距离d＝12＋12＝2，∴b＝2，x2y22，∴e＝2又椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为2，ab22b2则1－a2＝2，∴a＝2，2＋y2∴椭圆C的方程为x＝1．42(2)证明：设M(2，t)，则直线AM的方程为y＝t(x＋2)