(新课标)高中数学《1.1.1变化率与导数》教案新人教A版选修2-2.docx

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1、第一章导数及其应§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最

2、小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)4r33如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V4分析:r

3、(V)33V，4⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)h气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)10⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm)气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L)21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．ot思考：当空气容量从1增加到2时,气球的平均膨胀率是多少?VV-1-r(V2)r(V1)V2V1问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（

4、单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v在0t0.5这段时间里，在1t2这段时间里，v探究：计算运动员在0th(0.5)h(0)4.05(m/)；v0.50sh(2)h(1)8.2(m/s)2165这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像

5、，结合图形可知，)(0)，h(65h49h(65)h(0)所以v490(/)，65sm04965虽然运动员在0t0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，这段时间里的平均速度为49并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子f(x2)f(x1)表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化x2x1率2．若设xx2x1,ff(x2)f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1))3．则平均变化率为

6、yff(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)xxx2x1x思考：观察函数f(x)的图象平均变化率ff(x2)f(x1)表示什么?yxx2x1y=f(x)f(x2)-2-△y=f(x2)-f(x1)直线AB的斜率f(x1)△x=x2-x1Ox1x2x三．典例分析例1．已知函数f(x)=x2x的图象上的一点A(1,2)及临近一点B(1x,2y),则y．x解：2y(1x)2(1x)，∴y(1x)2(1x)23xxx例2．求yx2在xx0附近的平均变化率。x)22解：y(x0x)2x02，所以y(x0x0xx22

7、x0xx2x02x02x0xx所以yx2在xx0附近的平均变化率为2x0x四．课堂练习1．质点运动规律为st23，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为．2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率25.3t3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.五．回顾总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率六．布置作业-3--4-