3关节三 函数知识的三个支点

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1、关节三函数知识的三个支点函数是“数与代数”最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用．那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？从一道简单的数学题说起．题目：若a满足不等式组那么，代数式最大值和最小值分别是多少？简解：由所给的不等式租解得．又　．可看作是一段抛物线，且该抛物线的对称轴为a=3且开口向上，可知原式在a=－3时有最大值39，在a=3时有最小值3．析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准表达式为，第三层，用二次函数的性质解决原

2、来的问题．由此可以看出：把未指明的函数恰当地归为函数，再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点．函数知识的三个支点：一．明意义：是指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”；二．定表达式；三．用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题．一、明意义1．函数“明意义”的基本体现对与函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：①能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题；②能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题．例1　如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小

3、正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为32，大正方形内除去小正方形部分的面积为S（阴影部分），那么S与t的图象大致应为（　　）tOStOStOStOSA．B．C．D．【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是“”．解：选C．例2　已知：如图3—1①，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图①的边线运动，运动路径为：，相应的的面积关于运动时间t（s）的函数图象如图②，若，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时的值为24cm2，

4、③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时的值为18cm2．图①AFEDCGBHy(cm2)t(s)MNO图②24712图3—1A．1个B．2个C．3个D．4个【观察与思考】若把点P由G→C→D→E→F→H对应的图象分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ，则从图①和图②的对应情况可知：①由Ⅰ的两端点横坐标，可得，即；②M点的坐标是；③图象Ⅱ两端点横坐标为2和4，可知CD=2cm/s×2s=4cm；32④由Ⅲ的两端点横坐标为4和7，知DE=6cm，而EF=AB－CD=2cm，可知Ⅳ的右端点的横坐标为8，再由Ⅴ的两端点横坐标为8和12，推得FH=8cm，从而（cm），所以，N点的横坐标

5、是．解：应选D．说明：对函数“明意义”，就要善于从自变量与函数值的对应关系入手，从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题．2．“明意义”的更高体现对于函数意义的掌握，不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究，更为重要的是遇到具体问题时，能够而且善于把函数做为研究与解决的工具，即确立了这样的意识：凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题，就要想到用函数来研究和解决，这才是“明意义”的更高体现，才是“函数思想”深刻与强烈的表现．24657abcde例3　在五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，，其中a，b，c是三个连续偶数，d，e是两个连续奇数，且满足，例如．请

6、你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：．【观察与思考】可以看作一个函数问题，因为：ABCDMN图3—21012141719设a、b、c表示的三个连续偶数为、2x，；d，e表示的两个连续奇数为，，（x，y均为整数）．则有，得，只需x和y都是整数．如此一来，满足要求的x、y有无穷多对（只需x取偶数即可），如x=2，y=3（这就得到题目中所举的例）；x=4，y=6；x=6，y=9；x=8，y=12；……而使五个数均在0和20之间的，除例子之外，就只有x=4，y=6；x=6，y=9这两种情况了．68101113解：或．例4　如图3—2，ABCD为边长等于4的菱形，∠ABC=60°

7、，点M为边AD上一点，点N为边DC上一点，且AM=DN．⑴当AM=DN=3时，求△BMN的面积；32⑵是否存在M和N，使△BMN的面积等于？若存在，请指出点M和N的位置；若不存在，请说明理由．【观察与思考】问题⑴和问题⑵都涉及到△BMN的面积和AM（相应地DN）之间的对应关系，而△BMN的面积和AM的值具有函数关系，因此，如果把它们之间的函数关系搞清楚了，问题⑴、⑵就可迎刃而解了．解：∵菱形的边长为4，∠ABC=60°，∴菱形的高为．设AM的长为x，△BMN的面积为S