(完整版)第三节曲面及其方程教案 .doc

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1、重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（工本0023）教研窒：数理教研室班级：编写时间：1课题：第四节空间曲面及其方程教学目的及要求：知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。介绍空间曲线的各种表示形式。是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。教学重点：1.旋转曲面、柱面2.空间曲线的一般表示形式3.空间曲线在坐标面上的投影教学难点：空间曲线在坐标面上的投影教学步骤及内容：一、曲面方程的概念旁批栏：曲面S和三元方程F(x,y,z)=0满

2、足：（1）曲面S上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；（2）不在曲面S上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；那么称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程，曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形（见课本P159页图9.23）我们通常知道平面方程式关于x,y,z的三元一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，本节讨论一些常见的含x,y,z的二次方程所表示的曲面，称之为二次曲面。二、球面建立以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。设M(x,y,z)是球面上的任意一点（见图9.24），则有M0

3、MR23旁批栏：而M0M(xx0)2(yy0)2(zz0)2所以(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2这就是以点M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。当x0y0z00时，得球心在原点，半径为R的球面方程为x2y2z2R2三、柱面动直线l沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。直线l称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。建立以xoy面上的曲线C；f(x,y)=0为准线，母线平行于z轴的柱面方程。设M(x,y,x)

4、是柱面上的任意一点，过点M的母线与xoy面的交点N一定在准线C上（见图9.26）。点N的坐标为（x,y,0）;不论点M的竖坐标z取何值，它的横坐标x和纵坐标y都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为f(x,y)=0在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐标系中，方程f(x,y)=04表示以xoy面上的曲线；f(x,y)0为准线，母线5旁批栏：四、旋转曲面平面曲线C绕同一平面上定直线l旋转一周所形成的曲面，称为旋转曲面。定直线称为旋转轴。建立yoz面上的一条曲线C:f(

5、y,z)=0,绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程（见图9.31）设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M做平面垂直于Z轴，交z轴于点P(0,0,z),交曲线C于点M0(0,y0,z0),由于点M可以由点M0绕z轴旋转得到，因此有PMPM0,zz0(9.4.1)因为PMx2y2,PM0y0,所以y0x2y2(9.4.2)又因为M0在曲线C上，所以f(y0,z0)0,将（9.4.1）,(9.4.2)代入上式，即得旋转曲面方程f(x2y2,z)0可见，求平面曲线f(y,z)=0绕z轴旋转的旋转曲面方程，只要将

6、f(y,z)=0中的y换成x2y2而z保持不变，即得旋转曲面方程。同理，曲线f(y,z)=0绕y轴旋转的旋转曲面方程为f(y,x2z2,)0五、几种常见的二次曲面1）椭球面2）单叶双曲面3）双叶双曲面4）椭圆抛物面双曲抛物面6旁批栏：双曲抛物面（鞍形曲面）方程为x22py22qz（p与q同号）当p>0，q>0时，其形状如图所示。3．双曲面单叶双曲面方程为xa22yb22zc221双叶双曲面方程为x22ay22bzc221各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。小结与思考：曲面方

7、程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)，了解方程对应的图形形状，并利用截痕法简单地描出图形。作业：见作业本7.378