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时间:2021-01-05
《(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结 .doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、椭圆的定义、性质及标准方程1.椭圆的定义:⑴第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。⑵第二定义:动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0e1),则动点M的轨迹叫做椭圆。定点F是椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率。说明:①若常数2a等于2c,则动点轨迹是线段F1F2。②若常数2a小于2c,则动点轨迹不存在。2.椭圆的标准方程、图形及几何性质:2222xyyx221(ab0)中2
2、21(ab0)标准方程abab心在原点,焦点在x轴上中心在原点,焦点在y轴上图形范围xa,ybxb,yaA1a,0、A2a,0A10,a、A20,a顶点B10,b、B0,bB1b,0、Bb,022x轴、y轴;x轴、y轴;对称轴长轴长2a,短轴长2b;长轴长2a,短轴长2b;焦点在长轴上焦点在长轴上焦点F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c焦距F1F22c(c0)F1F22c(c0)cc离心率e(0e1)e(0e1)aa221.a2.a准线cc2222xyyx参数方程221的参数方程为221的参数方程为abab与普
3、通方xacosyacos程为参数为参数ybsinxbsin13.焦半径公式:椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式:椭圆焦点在x轴上时,设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,Px0,y0是椭圆上任一点,则PF1aex0,PF2aex0。PF1推导过程:由第二定义得e(d1为点P到左准线的距离),d12a则PF1ed1ex0ex0aaex0;同理得PF2aex0。c简记为:左“+”右“-”。由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。222xyy2x;若焦点在y轴上,则为121。有时为了运
4、算方便,设22a2abb22mxny1(m0,m1.。双曲线的定义、方程和性质知识要点:•定义(1)第一定义:平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a(小于
5、F1F2
6、)的点的轨迹叫双曲线。说明:①
7、
8、PF1
9、-
10、PF2
11、
12、=2a(2a<
13、F1F2
14、)是双曲线;若2a=
15、F1F2
16、,轨迹是以F1、F2为端点的射线;2a>
17、F1F2
18、时无轨迹。②设M是双曲线上任意一点,若M点在双曲线右边一支上,则
19、MF1
20、>
21、MF2
22、,
23、MF1
24、-
25、MF2
26、=2a;若M在双曲线的左支上,则
27、MF1
28、<
29、MF2
30、,
31、MF1
32、
33、-
34、MF2
35、=-2a,故
36、MF1
37、-
38、MF2
39、=±2a,这是与椭圆不同的地方。(2)第二定义:平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹叫双曲线,定点叫焦点,定直线L叫相应的准线。2•双曲线的方程及几何性质2222xyyx标准方程221(a0,b0)221(a0,b0)abab图形焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)顶点A1(a,0),A2(-a,0)A1(0,a),A2(0,-a)实轴2a,虚轴2b,实轴在x轴上,实轴2a,虚轴2b,实轴在y轴上,对称轴
40、c2=a2+b2c2=a2+b2c
41、MF2
42、c
43、MF2
44、离心率eea
45、MD
46、a
47、MD
48、2222aaaal:x,l:xl:y,l:y1212cccc准线方程22准线间距离为2a准线间距离为2accxyxyxyxy渐近线方程0,00,0ababbaba•几个概念(1)等轴双曲线:实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x,离心率为2。(2)共轴双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴x2222yxy双曲线,例:21的共轴双曲线是221。2baba①双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有
49、共同的渐近线的两双曲线,不一定是共轴双曲线;②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F为抛物线的焦点,定直线l为抛物线的准线。3注:①定义可归结为“一动三定”:一个动点设为M;一定点F(即焦点);一定直线l(即准线);一定值1(即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1)4②定义中的隐含条件:焦点F不在准线l上。若F在l上,抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线③圆锥曲线的统一定义:平面内与一定
50、点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹,当0e1时,表示椭圆;当e1时,表示双曲线;当e1时,表示抛物线。④抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化,与抛物线的定义联系起来,通过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程n)抛物线标准方程建系
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