习题答案_邹庭荣_李仁所_张洪谦.doc

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1、习题11-1．计算下列行列式解一由三阶行列式定义得解二.（2）解.（3）.解（4）.解67.（5）.解.（6）.解.1-2．计算行列式.解1-3．计算阶行列式（1）.67解.（2）.解.（3）．解,按第一列展开成两个行列式得67.1-4．证明：（1）.证（2）.证（3）.证67（4）.证1-5．计算行列式.解记,当时，;当时，按第1列展开得67.1-6．计算4阶行列式（1）.解.（2）.解.1-7．如果行列式，试用表示行列式的值．解.671-8．证明：.证.1-9.利用克莱姆法则解线性方程组.解方程组的系数行列式，由克莱姆法则知，方程组有惟一解.进

2、一步计算，有，，，,方程组的解为.1-10.问取何值时，齐次线性方程组可能有非零解？解方程组的系数行列式,当或时，，方程组可能有非零解．补充题B1-1．计算行列式.67解.B1-2．计算行列式.解.B1-3．计算行列式.解.B1-4．计算行列式.67解.B1-5．计算行列式.解见1-3（3）.B1-6．证明：,.证B1-7．证明：.证,按第列展开得67又，所以有.习题22-1．设，，，求：（1）；（2）．解（1）.解（2）.2-2．设，,（1）将化为单位向量；（2）向量是否正交.解（1）,.解（2）由于,所以向量正交.2-3．计算：（1）；（2）.

3、解（1）.解（2）.2-4．计算下列乘积：（1）解.（2）67解.（3）.解.（4）.解.（5）.解2-5．已知，,求和．解..2-6．如果，证明当且仅当时成立．67证必要性.已知,且,有,即,化简得.充分性.由得,又,代入得,化简得.证毕.2-7．设，其中是阶单位矩阵，是维单位列向量．证明对任意一个维列向量，都有．证因,故对任意一个维列向量有,,从而有故有，证毕.2-8．对于任意的方阵，证明：（1）是对称矩阵，是反对称矩阵；（2）可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和．证（1）由,所以是对称矩阵；,所以是反对称矩阵.证（2）.2-9．证明：如果

4、都是阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是与是可交换的．证必要性.因，且,有,所以与是可交换的.充分性.由，及，得，67所以是对称矩阵.2-10．设是一个阶对称矩阵，是一个反对称矩阵，证明是一个反对称矩阵．证由，得，所以是一个反对称矩阵．2-11．设是个线性无关的向量，，其中全不为零．证明中任意个向量线性无关．证从向量组中任取个向量，设有一组常数使得（*）当时，线性无关，结论成立；当时，将代入（*）式得整理得,由于是个线性无关的向量，所以，由于全不为零，所以，则向量组线性无关，故中任意个向量线性无关．2-12．设向量组线性相关，向量组线性无关，（

5、1）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例．（2）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例．解（1）能由线性表示.因线性相关，必有一组不全为零的常数，使得，下面只要证明即可.若，则不全为0，于是有，即线性相关；又由线性无关，所以其部分组必线性无关，得出矛盾，从而各67，即能由线性表示.解（2）不能由线性表示.如，，，，显然，线性相关，线性无关，但是不能由线性表示.2-13．求下列矩阵的秩：（1）.解，所以矩阵的轶为2.（2）解，所以矩阵的轶为4.2-14．判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大

6、线性无关组表示出来：（1）；解用所给的3个向量作为列构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩3，所以向量组线性无关.（2）解用所给的3个向量作为列构造矩阵67，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩2，所以向量组线性相关，其中是其极大无关组，.2-15．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：（1）.解,因此.67（2）解,因此.2-16．求解矩阵方程：（1）解记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.构造,所以.（2）.67解记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.,因此，从而有.2-17．已知，,试用初等行变换求．解依据可得所以.2-18．用分块法求

7、：（1）.解；67（2）解.2-19．用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）.解,因则.（2）.解,因，，所以.2-20．把下列向量组正交化：（1），，.67解用施密特正交化方法得，，，则是正交向量组．（2），，．解用施密特正交化方法得，，，则是正交向量组．2-21．已知，，，（1）求与的夹角；（2）求；（3）求一个与等价的标准正交向量组．解（1）因为，，，所以.（2）因，所以.（3）先将向量组正交化67，，，，，则是正交向量组.再将单位化，，，，则即为所求．2-22*．判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？(1)次数等于的实系数多项式

8、的全体，对于多项式的加法和数乘运算；(2)阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；(3)平面上不平行于某一向量的全体