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《线性代数 课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 李仁所 张洪谦 第2章_向量与矩阵习题解1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题22-1．设，，，求：（1）；（2）．解（1）.解（2）.2-2．设，,（1）将化为单位向量；（2）向量是否正交.解（1）,.解（2）由于,所以向量正交.2-3．计算：（1）；（2）.解（1）.解（2）.382-4．计算下列乘积：（1）解.（2）解.（3）.解.（4）.解38.（5）.解2-5．已知，,求和．解..2-6．如果，证明当且仅当时成立．证必要性.已知,且,有,即,化简得.38充分性.由得,又,代入得,化简得.证毕.2-7．设，其中是阶单位矩阵，是维单位列向量．证明对任意一个维列向量，都有．证因,故对任意一个维列向量有,,
2、从而有故有，证毕.2-8．对于任意的方阵，证明：（1）是对称矩阵，是反对称矩阵；（2）可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和．证（1）由,所以是对称矩阵；,所以是反对称矩阵.38证（2）.2-9．证明：如果都是阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是与是可交换的．证必要性.因，且,有,所以与是可交换的.充分性.由，及，得，所以是对称矩阵.2-10．设是一个阶对称矩阵，是一个反对称矩阵，证明是一个反对称矩阵．证由，得，所以是一个反对称矩阵．2-11．设是个线性无关的向量，，其中全不为零．证明中任意个向量线性无关．证从向量组中任取个向量，
3、设有一组常数使得（*）当时，线性无关，结论成立；当时，将代入（*）式得38整理得,由于是个线性无关的向量，所以，由于全不为零，所以，则向量组线性无关，故中任意个向量线性无关．2-12．设向量组线性相关，向量组线性无关，（1）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例．（2）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例．解（1）能由线性表示.因线性相关，必有一组不全为零的常数，使得，下面只要证明即可.若，则不全为0，于是有，即线性相关；又由线性无关，所以其部分组必线性无关，得出矛盾，从而各，即能由线性表示.38解（2）不能由线性表示.如，，，，显然
4、，线性相关，线性无关，但是不能由线性表示.2-13．求下列矩阵的秩：（1）.解，所以矩阵的轶为2.（2）解，所以矩阵的轶为4.2-1438．判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来：（1）；解用所给的3个向量作为列构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩3，所以向量组线性无关.（2）解用所给的3个向量作为列构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩2，所以向量组线性相关，其中是其极大无关组，.2-15．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：38（1）.解,38
5、因此.（2）解38,因此.2-16．求解矩阵方程：（1）解记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.构造,所以.（2）.解记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.38,因此，从而有.2-17．已知，,试用初等行变换求．解依据可得38所以.2-18．用分块法求：（1）.解；（2）解.2-19．用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）.解,38因则.（2）.解,因，，所以.2-20．把下列向量组正交化：（1），，.38解用施密特正交化方法得，，，则是正交向量组．（2），，．解用施密特正交化方法得，，，则是正交向量组．2-21．已知，，，（1）求与的
6、夹角；（2）求；（3）38求一个与等价的标准正交向量组．解（1）因为，，，所以.（2）因，所以.（3）先将向量组正交化，，，，38，则是正交向量组.再将单位化，，，，则即为所求．2-22*．判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？(1)次数等于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算；(2)阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；(4)主对角线上各元素之和为零的阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算．解（1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性.3
7、8（2）是.（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性.（4）否，加法运算不满足封闭性.2-23*．在维线性空间中，分量满足下列条件的全体向量能否构成的子空间？(1)；(2)．解（1）设，且满足；又，满足，，而满足故此条件下能构成的子空间.解（2）设，且满足38，而，有，，故此条件下不能构成的子空间.2-24*．假设是线性空间中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成的子空间．这个子空间叫做由生成的子空间，记做．证设有两组系数构成的两个线性组合，分别为，，且,其中是线性空间的非空子集；（i）；（ii）是任意数，有，故构成的子空间.2-25*．
8、设和是线性空间的两组向量，证明生成子空间和相等的充分必要条件是和等价．证必要性.已知，则必有是的子空间，可由线性表示，同时是的子空间，从而可由线性表示，故和等价.充分性.已知和等价，则可由线性表示，有是的子
