第二章 Langevin方程与数值模拟培训讲学.doc

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时间:2020-12-18

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1、精品好文档,推荐学习交流第二章Langevin方程与数值模拟问题:系统的作用量或Hamiltonian量为S平衡态分布为,(这里温度已吸收到S)。假设系统时处于一初始状态系统如何演化至平衡态?如果初始状态不是平衡态,这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态,这是平衡态的动力学涨落问题。第一节单自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程对固定~这里的t通常也是介观时间。如果没有随机力,平衡态为,即能量取极小值。如果存在随机力,体系会被推离能量极小,处于某种能量较高的平衡态。仅供学习与交流,如有侵权请

2、联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流例如:布朗运动——花粉在液体中的运动一维解如如,这便是随机行走。在布朗运动的方程中加入自身的相互作用可以理解为广义的Langevin方程。设想这一方程是真正的微观运动方程,对时间做某种介观的平均,常常加速度的项可以忽略。由于随机力的存在,Langevin方程有他的复杂性,因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见,我们对时间分立化在数值模拟中应用较直观,Z~=仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流∴Langevin方程令∴方程的解是随机变量,在数值模拟中

3、给定初始值还不确定,与随机力有关。也就是说,在t时刻,x遵从一个分布。物理量的平均值问题:的含义?答:必须对t之前的所有随机力做平均。仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流∵∴∵又∵∴这里做分步积分时,假设另一方面Fokker-Planck方程∴仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流显然~思考题:试讨论为平衡态的条件第二节多自由度的Langevin方程和自由场这里是空间指标时空分立化∴∴仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流~关于Kernel练习

4、:推导F-P方程,证明平衡态为。自由场动量变换∴仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流关于Kernel的作用∴Kernel不改变平衡态,但可以改变动力学演化过程。e.g.如~,演化极慢,我们可取,则这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题,称为Fourier加速法。但在有相互作用时,如何选取可以达到“加速”的目的,是重合悬而未决的问题。第三节Langevin方程的路径积分表述生成泛函对的微商,可以得到任何物理量的平均值。恒等式仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流对单自由

5、度如果只有唯一解这恒等式对任意成立。作积分变换在积分号内,是的任意函数。但积分后,由于函数的作用,取的解。关键:令,则积分后为Langevin方程的解。i.e.由于函数的存在,这里的可以看成和无关。仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流引入辅助场玻色场,费米场第四节复Langevin方程自然延拓注意:保持为实数。问题:这样的Langevin方程是否给出平衡态分布?引入复分布,令注意:这里为实数练习形式上不难推导假设当仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流似乎也有平衡态~作相似变

6、换注意:在类似于量子力学的框架下,定义内积则假设为实函数,则∴为正定算符设假设的基态没简并>0,>0仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流∴但是,如果为复函数,失去正定性,可以小于零,情形变得不确定。第五节动力学临界现象和临界慢化设描述的平衡态处于二级相变点(临界点)附近Langevin方程描写的动力学行为是一种动力学临界现象。当然,也存在没有平衡态的动力学临界系统,即动力学二级相变系统。更广义的动力学临界现象包括自组织临界现象等。动力学临界现象的特征行为是发散的关联时间和动力学标度形式。例如,定义假设足够大

7、,二、三十年前人们便发现,为相变温度:称之为动力学临界指数,:任意标度因子仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢25精品好文档,推荐学习交流动力学标度形式代表一种自相似性,这一自相似性具有普遍意义。例:——把的单位“恰当”地改一下,后果只是把M的单位改一下(相似性)令——除了一个相似因子只与有关,平衡态的空间关联长度,所以所以,应当代表一空间标度。事实上,它是t时刻的空间关联长度。——空间单位的改变,仅导致M的单位的改变!动力学标度形式可用重整化群方法导出,而且可以推广重有限尺度体系。足够大,足够小。但是,重整化群方法的结果只能与实验或

8、准确结果定性比较。当然,我们可以数值求解Langevin方程,但运算量太大,特别是当时,由引起的误差难以控制。一般相信,MonteCarlo动力学和Langevin动力学处于同一

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