第二章 Langevin方程与数值模拟 - Department of Physics.doc

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1、MonteCarloSimulationofNon-equilibriumDynamicsinStatisticalPhysicsBoZhengZhejiangUniversityContentsIIntroductionIILangevinEq.andMonteCarlodynamicsIIIPhaseorderingdynamicsIVCriticaldynamicsfarfromequilibriumVDisorderedsystemsVIConcludingremarksIIntroductionMany-bodySystemsdif

2、ficulttosolvetheEqs.ofmotionStatisticalPhysicsEquilibriumEnsembletheoryNon-equilibrium?Atmacroscopiclevel*Non-equilibriumstate:observabledoesevolveastimet(t→∞)*Equilibriumstate:observabledoesnotevolveastimetExceptional*Time-dependentperturbations:t→∞stationarystate～equilibr

3、ium*Externalfields:t→∞transportation～dynamicbehaviorNon-equilibriumstatisticalphysics*Dynamicbehaviorinoraroundequilibrium:long-timebehaviortransportation‘stationarystate’*Dynamicbehaviorfarfromequilibrium:‘shorttime’behaviorEquationsofmotion*MicroscopicfundamentalEqs.:Newt

4、on,HeisenbergEqs.*Effectiveequations:Liouville’s、BoltzmannEqs.*PhenomenologicalEqs.:LangevinEq.,MonteCarlodynamicsMasterEq.……Dynamicsfarfromequilibrium*Relaxational*PhenomenologicalLangevinEq.,MonteCarlodynamicsExamplesphaseorderingdamagespreadingcriticaldynamicsspinglassdy

5、namicsstructuralglassdynamicsinterfacegrowthchemicalreaction……IILangevinEq.andMonteCarlodynamics1、Langevin方程问题：系统的作用量或Hamiltonian量为S平衡态分布假设系统时处于一初始状态系统如何演化至平衡态？如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。单自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程对固定~例如：布朗运动——花粉在液体中的运动一

6、维解如如时间分立化在数值模拟中应用较直观，Z~~∴Langevin方程令∴方程的解是随机变量，在数值模拟中给定初始值还不确定，与随机力有关。也就是说，在t时刻，x遵从一个分布物理量的平均值∵∴∵又∵∴这里做分步积分时，假设另一方面FoKker-Planck方程∴显然~习题：试讨论为平衡态的条件多自由度的Langevin方程和自由场这里是空间指标时空分立化∴∴练习：推导F-P方程，证明平衡态为。自由场动量变换∴数值求解Langevin方程的困难：1、引起的误差2、动力学慢化2、MonteCarlo动力学Isingmodel称之为哈密顿量,为外磁

7、场置于格点上，例如正方格点对随机状态有序状态极小当体系和大热源接触达到“平衡”时，遵从正则分布物理量的平均值，称配分函数对MC模拟，可以给予概率分布的意义。引入恰当随机过程，产生一系列自旋构形当足够大时，遵从分布同时，MonteCarlo模拟产生的一系列自旋构形也自然定义一种MonteCarlo动力学。对初始条件和随机力的平均MonteCarlo动力学和Langevin动力学处于同一普适类。MC模拟可以给出较好的定量结果MC模拟仍受临界慢化的困扰如何解决临界慢化困难？杰出的工作：Cluster方法非局域的迭代方法因此，不能研究定域的动力学II

8、IPhaseorderingdynamics*Systemsquenchedfromhightemperaturetolowtemperature*Spinodal