曲面的面积ppt课件.ppt

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1、一、曲面的面积二、质心三、转动惯量四、引力§9.4重积分的应用上页下页铃结束返回首页提示一、曲面的面积下页元素法因为点M处的法向量为n(fxfy1)设dA为曲面上点M处的面积元素dA在xOy平面上的投影为小闭区域d点M在xOy平面上的投影为点P(xy)因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n^k)所以dAcos(n^k)d所以dA

2、n

3、dcos(n^k)

4、n

5、1又因为nk

6、n

7、cos(n^k)1曲面的面积元素设曲面S的方程为zf(xy)f(x

8、y)在区域D上具有连续偏导数所以一、曲面的面积曲面的面积元素设曲面S的方程为zf(xy)f(xy)在区域D上具有连续偏导数设dA为曲面上点M处的面积元素dA在xOy平面上的投影为小闭区域d点M在xOy平面上的投影为点P(xy)因为点M处的法向量为n(fxfy1)所以下页下页一、曲面的面积曲面的面积设曲面S的方程为zf(x,y),f(x,y)在区域D上具有连续偏导数,则曲面S的面积为曲面的面积元素设曲面S的方程为zf(xy)f(xy)在区域D上具有连续偏导数则曲

9、面的面积元素为曲面的面积公式:讨论(1)曲面xg(yz)的面积如何求？(2)曲面yh(zx)的面积如何求？提示下页其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域其中Dzx是曲面在zOx面上的投影区域球面的面积A为上半球面面积的两倍解例1求半径为R的球的表面积提示此积分的被积函数是无界的因此这是一种反常积分下页球面的面积A为上半球面面积的两倍解例1求半径为R的球的表面积首页分析在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,其值近似为(x,y)

10、ds.P点对y轴的静矩为dMyx(xy)d分析P点对y轴的静矩为dMyx(xy)d设质心的横坐标为x薄片的质量为M则xMMy薄片对y轴的静矩为二、质心dsP(x,y)下页设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为分析P点对x轴的静矩为dMxy(xy)d设质心的横坐标为y薄片的质量为M则yMMx薄片对x轴的静矩为二、质心dsP(x,y)下页设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度

11、(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为二、质心设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为讨论设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度是常数如何求该平面薄片的质心(称为形心)？提示下页下页二、质心类似地设一物体占有空间闭区域其密度(xyz)是闭区域上的连续函数则该物体的质心坐标为设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为解下页例2求两

12、圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心提示取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上解例3求半径为a的均匀半球体的质心半球体所占空间闭区可表示为{(xyz)

13、x2y2z2a2z0}提示下页取半球体的对称轴为z轴,原点取在球心上解例3求半径为a的均匀半球体的质心半球体所占空间闭区可表示为{(xyz)

14、x2y2z2a2z0}首页转动惯量元素在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片,其面积(面积元素)为ds,其质量认为集中于点P,其值近似为r(x,y

15、)ds.P点对x轴和对y轴的转动惯量为dIxy2(xy)ddIyx2(xy)d三、转动惯量下页dsP(x,y)设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为三、转动惯量类似地设一物体占有空间闭区域其密度(xyz)是上的连续函数则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D其面密度(xy)是D上的连续函数,则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为下页下页所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的

16、转动惯量Ix例5求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量解取坐标系如图薄片所占闭区域D可表示为D{(xy)

17、x2y2a2y0}例6求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量取球心为坐标原点z轴与轴l重合又设球的半径为a解球体所占空间闭区域可表示为{(xyz)

18、x2y2z2a2}所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz首页四、引力下页设物