量子力学测试题(4.docx

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1、量子力学测试题（4）（复旦2002）1、已知一维运动的粒子在态(x)中坐标x和动量px的平均值分别为x0和p0，求在态(x)eip0x/(xx0)中坐标x和动量px的平均值。解：已知粒子在态(x)中坐标x和动量px的平均值分别为x*(x)x(x)dxx0px*(x)i(x)dxp0x现粒子处在(x)态，坐标x和动量px的平均值x*(x)x(x)dx*(xx0)x(xx0)dx*(x)(xx0)(x)dxx0x00px*(x)i(x)dxeip0x/*(xx0)ix[eip0x/(xx0)]dxxeip0x/*(xx0)[

2、p0eip0x/(xx0)eip0x/i(xx0)]dxxp0*(x)i(x)dxp0p00x2、一体系服从薛定谔方程2(2m221212)kr1r2(r1,r2)E(r1,r2)2（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）；（2）求基态能量和基态波函数。解：（1）体系的哈密顿量为2212H2212kr1r22m2m2引入质心坐标R和相对坐标r：R1(r1r2)rr1r22在坐标变换r1,r2R,r下，体系的哈密顿量变为1221H222M2mm/2R2rkr2M2容易得知系统的守恒量为E,L2,Lz。（中心力场）（2）相对

3、运动哈密顿量为212Hr2kr22r2r2212r2k2相对运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为3312r2(r)3/2e2ENN0,1,2,23、设t=0时氢原子处在态(r,0)1[210021022113211]10（1）求体系能量的平均值；（2）任意t时刻波函数(r,t)；（）任意t时刻体系处在3l1,m1态的几率；（4）任意t时刻体系处在m0态的几率。解：氢原子定态能量和波函数为Ene2nlm(r,,)Rnl(r)Ylm(,)2an22311e2（1）EE1E240a55（2）任意t时刻波函数(r,t)

4、1{2eiE1t/100(r)eiE2t/[210(r)2211(r)3211(r)]}10（3）任意t时刻体系处在l1,m1态的几率为1/5；（4）任意t时刻体系处在m0态的几率为1/2。4、一维谐振子受到微扰Hcx2作用，式中c为常数。在粒子数表象中，1/2x(aa)2ma,a分别为湮灭算符和产生算符，满足a

5、nn

6、n1a

7、nn1

8、n1（1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比较。2解：（1）由[a,a]1得Hcx2c(aa)2c[a2(a)212aa]22利用a

9、nn

10、n

11、1a

12、nn1

13、n1计算微扰矩阵元得Hmnm

14、H

15、ncm

16、[a2(a)212aa]

17、n2c{n(n1)m,n2(2n1)mn(n1)(n2)m,n2}2零级近似能量、一级和二级修正能量分别为En(0)n1En(1)Hnnn1c22222HmnEn(2)c23[n(n1)(n1)(n2)]n1c(0)(0)23mnEnEm822精确到二级近似的能量值为Enn11cc222224（2）现求能量精确值Hp212x2cx2p2102x222222c2c1/20212本征能量112c1/21Enn0n1n11/22222n0,1,2

18、,2c2视为微小量，则12En(0)En(1)En(2)Enn1282其中(0)n1(1)n1c(2)n1c2En2En2En2223能量精确解的前三项与分别与零级近似能量、一级和二级修正能量相同。5、设a,a分别为湮灭算符和产生算符，满足对易关系[a,a]1。体系的哈密顿量为3HAaaBaaCaaD（1）问A,B,C,D满足什么条件H才是厄密算符？（2）求体系的能量。解：（1）容易得知H是厄密算符的条件是A,B,C,D均为实数，且AB，则HA[a2(a)2]CaaD（1）（2）由（1）式得Caaa2(a)21(HD)（

19、2）AA令baabaa其中,为待定实数[b,b][aa,aa]2[a,a]2[a,a]已知[a,a]1则得[b,b]22为使b,b与a,a满足相同的对易关系[b,b]1则221计算bb(aa)(aa)2aa[a2(a)2]2aa利用[a,a]1aa1aa得bb(22)aa[a2(a)2]222a2(a)21(bb2)所以aa（3）22C比较（2）式和（3）式，如令则得A1(HD)1(bb2)A由此可得HA(bb2)D（4）如果已知,，则H的本征值为EnA(n2)Dn0,1,2,2222C现在来求,,由于1解之得A4CC2

20、4A2CC24A2A2C24A22C24A2C24A2所以EnC24A2CC24A2DC2An0,1,2,nC24A225