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《1999年全国高中数学联赛试卷及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1999年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．给定公比为q(q¹1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…，则数列{bn}【答】（ ）(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、
2、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(
3、x
4、-1)2+(
5、y
6、-1)2＜2的整点(x,y)的个数是【答】（ ）(A)16(B)17(C)18(D)253．若(log23)x-(log53)x≥(log23)-(log53)，则【答】（ ）(A)x-y≥0(B)x+y≥0(C)x-y≤0(D)x+y≤04．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线，直线c是a与b的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么【答】（ ）(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不
7、正确(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（ ）(A)0(B)1(C)2(D)36．已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)不确定【答】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.已知正整数n不超过2000
8、，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.8.已知=arctg，那么，复数的辐角主值是_________.9.在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则=__________.10.已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____.11.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}15中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__
9、____.8.已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA=2。那么三棱锥S-ABC的体积为__________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13.已知当xÎ[0,1]时，不等式恒成立，试求的取值范围。1514.给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当
10、AB
11、+
12、BF
13、取最小值时，求B的坐标。15.给定正整数n和正数M，对于满足条件≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。15第二试一、(满分50分
14、)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC.15二、(满分50分)给定实数a,b,c，已知复数z1,z2,z3满足：，求
15、az1+bz2+cz3
16、的值。15三、(满分50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。151999年全国高中数学联合竞赛答案一、选择题题号123456答案CABDBC提示
17、：1.(C).由题设，，因此，是公比为的等比数列.2.(A)由,可得(
18、x
19、-1,
20、y
21、-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个.3.(B)记f(t)=，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)≥f(-y). 故x≥-y，即x+y≥0.4.(D).易知命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确.5.(B)设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛.由题意，可得，即=44+r.由于0≤
22、r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数.
