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1、第12卷第1期铜仁学院学报2010年1月JournalofTongrenUniversity变异系数的统计推断及其应用1，21吴媚顾赛赛（1．东南大学数学系，江苏南京210096；2．南京化工职业技术学院基础部，江苏南京210048）摘要：变异系数是反映总体离散程度的重要指标。应用delta方法研究了样本变异系数的渐近分布，进一步构造了其置信区间及检验统计量，并用MonteCarlo方法给出了置信区间的模拟覆盖概率和检验的模拟功效，最后分析了一组实际考试成绩。关键词：变异系数；delta方法；区间估计；假设检验中图分类号
2、：O212文献标识码：A文章编号：1673-9639(2010)01-0139-04变异系数，就是标准差系数，也称差异系数、离散系数，1n1n2S2[2]X=∑Xi，S=∑()Xi−X，现在考察的渐它分为总体变异系数和样本变异系数。样本变异系数是衡量ni=1ni=1X样本资料中各观测值变异程度的重要统计量。当进行两个或k近分布，构造置信区间。设总体X的四阶矩α=EXk多个资料变异程度的比较时，如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。如果单位和（或）平均数不同22（k=1,2,3,4）存在，显然EX=α，σ=V
3、ar()X=α−α。121时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。样本变异系数（Coefficientn212SofVariance，简称为CV）定义为标准差与均值的比率：再记X=∑Xi。为推导CV=的渐近分布，我们nXi=1SCV=X2要先推导(X,X)的联合渐近分布，见以下结论。其中，CV代表变异系数，S代表样本标准差，X代表样本平均数。结论1：若总体X的四阶矩α1、α2、α3、α4存在，变异系数的最大优点在于它具有直观简洁的形式，容易2则样本的前两阶矩(X,X)的联合渐近分
4、布为：由样本直接得到估计值。变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。杨运清和⎛2⎞[1]⎛⎜⎛⎜x⎞⎟⎛α1⎞⎞⎟L⎜⎛0⎞⎛⎜α2−α1α3−α1α2⎞⎟⎟张宏探讨了总体变异系数间差异的统计检验方法；周昌隆n⎜⎜2⎟−⎜⎜α⎟⎟⎟⎯⎯→N2⎜⎜⎜⎟⎟,⎜2⎟⎟[2]⎝⎝x⎠⎝2⎠⎠⎝⎝0⎠⎝α3−α1α2α4−α2⎠⎠在抽样分布的基础上，推导了来自正态总体的样本变异系[3]数的抽样分布；谢锋和周飞跃在正态总体下给出了样本变证明：由数学期望的性质易得：[4]异系数的假设检验方法；高洪忠利
5、用非参数方法构造了变VarX[5]2异系数的区间估计；王文森从经济统计的角度概括了变异=EX2−()EX系数的作用。本文的第一部分给出了样本变异系数的渐近分2⎛1n⎞=EX⎟−α2⎜∑i1布，并进一步给出置信区间和假设检验，第二部分给出了模⎝ni=1⎠拟结果，并以实际的考试成绩为例来说明此方法的实用性。1⎛n2⎞2=2E⎜⎜∑∑xi+xixj⎟⎟−α1n⎝ij=≠1i⎠1．样本变异系数的渐近分布又因为x1、x2是独立同分布，所以2由于X、S的渐近分布已解决，即收稿日期：2009-12-27作者简介：吴媚（1982-），女
6、，安徽和县人，讲师，研究方向：概率统计。1392010年第1期铜仁学院学报1⎛n2⎞2S⎛2⎞2E⎜⎜∑∑xi+xixj⎟⎟−α1证明：由于CV=为⎜X,X⎟的函数，记为n⎝ij=≠1i⎠X⎝⎠12222=2()nα2+()n−nα1−α1S2y−xnCV==φ(X,X)，其中φ()x,y=。由文后参考Xxα2n−122=+α−α11文献[4]得：nn2α2−α1()L(()()()T)=nCV−θ⎯⎯→N0,φ′α1,α2Dφ′α1,α2nnn其中：21212EX=E∑Xi=∑EXi=α2ni=1ni=1⎛⎞()⎜y1
7、⎟2φ′x,y=−,VarX⎜222⎟⎝xy−x2xy−x⎠22()2()2=EX−EX2⎛2⎞nα−αα−αα⎛12⎞2D=⎜21312⎟。=E⎜∑X⎟−α⎜2⎟i2α−ααα−α⎝ni=1⎠⎝31242⎠21⎛n⎞4222=2E⎜⎜∑∑xi−xixj⎟⎟−α2⎛y1⎞n⎝ij=≠1i⎠把α1、α2代入φ′()x,y=⎜−,⎟，得：⎜222⎟⎝xy−x2xy−x⎠同样由于x、……、x是独立同分布，所以1n21⎛n422⎞φ′(α1,α2)2E⎜∑∑x−xx⎟−α2⎜iij⎟2n⎝ij=≠1i⎠⎛⎞⎜y1⎟1=−,=()
8、nα+()n2−nα2−α2⎜222⎟2422⎝xy−x2xy−x⎠()nα1,α22α4−α2⎛⎞=⎜α21⎟n=⎜−,⎟⎜222⎟αα−α2αα−α⎝121121⎠()(2)EX−αX−α12再根据文后参考文献[6]，通过对delta方法主要结果进行()22=EXX−α1X−α2X+α1α2变形，可以得到：⎛1n
