化归法在数学解题中的应用

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1、万方数据第4卷第3期2002年9月宁波教育学院学报JOI玳NAI．0FNINGBO矾趼Ⅲ胍oFⅡ)U㈣NV01．4N0．3S印．2002化归法在数学解题中的应用毛欣辉(浙江广播电视大学工商学院，浙江宁波315016)摘要：善于运用化归，合理使用化归，能简捷地解决数学问题，并使解题成为富有特色的益智活动。关键词：数学；问题；化归法中图分类号：012—42文献标识码：A文章编号：1009—2560(2002)03—0035一03化归法是数学解题的一种重要方法。所谓“化归”，就是在解决问题时，将原问题进行变形，由未知变已知，由难变易，由

2、复杂变简单，最终归结为我们熟悉的，或易于解决的，或已经解决的问题。它的一般模式为：显然，化归原则的关键在于问题的转化。厂丽—面]一厂百可数学中实现化归的方法是很多的，譬如一般问题向特。—了丁一——了—一殊问题的化归，代数问题向几何问题的化归，代数问题向三厂丽—i]卜厂丽习角函数问题的化归，实际问题向数学模型的化归等，以下就一一阐述上述四种化归的思想方法和作用。一、一般问题向特殊问题的化归从一般问题向特殊问题的化归，体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高

3、维退到低维，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。⋯例1已知zi≥O(i=1，2，以，n)，且菇1+戈2+以+菇。=1，求证：1≤~／i：~／i+以√石s厶‘引分析先从特殊情形人手，探求证明方法。若石1≥o，z2兰o，且菇1+菇2=1，能否得出l≤~／石1+~／z2≤√27由2√i瓦s茗1+戈2：1号。曼2~／乏瓦s1：>1≤2~／乏瓦+菇1+菇2曼2专1≤(^+^)2≤2j1冬(^+^)s垣证明因为o≤2佤≤兢+巧(i=1，2，A，凡；_，=1，2，以，凡)，所以os2∑~／磊s(n一1)∑‰=n一11≤f曼，蔓nI=1收稿日

4、期：2001—12一ll作者简介：毛欣辉(1961一)，男，浙江宁波人，浙江电大工商学院讲师。35万方数据宁波教育学院学报20吃年第3期(总第13期)故即1s(∑厄)2s拓‘=l即得l冬∑^s^二、代数问题向几何问题的化归它是根据已知条件来构造几何图形的一种数学方法，使得问题在几何形式下简捷解决。例2已知戈，)，，z为正数，且彬(菇+)，+石)=1，求表达式(茗+y)(y+：)的最小值。解构作右图△ABC，其中三边长分别为口=石+)，，6=)，+z，c=z+菇则其面积为s：以面=面万=砑同=以i巧了万芴=1其中p：坠警。从而得到(

5、茗+，，)(，，+=)：口6：盎=刍≥，。XyC其最小值为2，当且仅当么C=90P时取到。亦即(菇+y)2+(y+z)2=(三+戈)2々专y(戈+)，+z)=泓时，(戈+，，)(，，+z)取得最小值2。三、代数问题向三角函数问题的化归它是根据代数式的形状、结构，对照已知的三角函数公式或关系，将问题转化，使得问题在三角函数形式下简捷解决。。例3求证：任何十三个数钆(五=1，2，以，13)，其中必有两个数茗；，巧，使得o<子#去<2一拈分析注意到不等式中的筏、≈取值范围与正切函数的取值范围一致，且结构又与两角差的正切公式相吻合，故可对

6、‰作三角代换。证明设吼∈(一号)，号，且令五=细氓(露=1，2，以，13)，现把区间(一号，号)分成十二等分，那么每个小区间的长度均为磊，由抽屉原理可知，至少有两个数B和仇落在同一个小区间内。设口；<岛，则o<岛一仇<南于是o

7、毛欣辉：化归法在数学解题中的应用一笔画问题，不仅解决了实际问题(当时的难题)，更是开创了数学中的新兴学科——图论和拓扑学。这样的例子还有很多，不再一一例举。综上可见，化归的实质就是对所要解决的问题进行有目的地转化，切忌盲目选择化归方向与方法。同时，在解题过程中应保持一定的灵活性，不要仅仅局限于某一途径，应在各种可能的途径中进行合理的选择。最后需指出的是，化归并非是数学解题中的万能之法，只有充分、合理、准确地使用数学解题方法，才能更好地解决数学问题。参考文献：[1]罗增儒．数学竞赛导论[M]．西安：陕西师范大学出版社，2000．26

8、2．[2]殷堰工．数学解题策略精编[M]．上海：上海科技教育出版社，1994．6ontl地AppHcationofMethodofInductioninMathematicsProblemS0l“ngMA0Xill—hui(风砌恤旷，埘矗嘲吨以硼d