高中数学解题中“化归法”策略的探究

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1、高中数学解题中“化归法”策略的探究化归是转化和归结的简称，化归方法是数学解题的一般方法，它的基本思想是在解决数学问题时,常常是将待解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个(若干个)新问题，而新问题是相对较易解决的或已有固定模式解决的问题，通过対新问题的解决从而使原问题得到解决，其中转化的手段被称为化归途径或化归策略•下面就结合具体问题的解析，阐述用化归法解答数学疑难问题的常用途径.1.变更问题的条件或结论为了寻找解题途径，有时需要把一个命题的条件或结论适当变化，转化为一个与原命题等价的命题.如问题1,就是变更问题的条件与结论将原问题转化为与之等价的、易求证的问题•通过对新命题的求解

2、，从而使原命题得到解决.问题1：已知：0分析：由于oo,al-x・>0,自然会想到基本不等式a+b22・(a,b>0),再结合指数函数的单调性，最终将原来的问题转化为-x2+2x-lW0这个简单而熟悉的问题.从上面的解题过程可以看出，问题其实代表了一类问题的求解方法，即已知条件是等式，但要求证的是不等式，山条件出发，难以求证原命题,这时需要多次地将问题进行变形，使之转化，从而将原來的问题化归为熟知的及能解决的问题.1.变量代换利用变量代换将形式较复杂且难以入手的问题化归为形式简单容易求解的问题•常用的变量代换为三角代换，当所要求证的结论中含有根式时，并且根式内是平方和的形式，一般采用

3、三角换元法可以把根号去掉，使问题变得更简单，如问题2.问题2：已知：x>y>0,求使不等式logBH>(logBt)■恒成立的实数t的最小值.分析:VlogHH=log2x-log2y,并考虑■的结构特点，可设logBH■x+logH■y=r2(r>0).从而可得log2x=rcos0,log2y=rsin0,x>y>0,/.9w(0,■),因此不等式可化归为r(cos0-sin0)

4、构特征，对已知条件作适当的变形；另一方面要善于发现题目中的特殊条件、结构，挖掘题目中隐含的特殊关系，以便于山这些特殊条件提出各种可能的变量代换•代换的基本原则是所作的变量代换在代换后应尽量减少变量的个数，降低次数，使问题结构简单.2.转化思维角度对于某些问题，如果按照常规思维方式解决，难以奏效，但是转化为另一思维角度去考虑分析，问题就变得简单多了•转化思维角度一般包括:代数问题与几何问题互化，复数问题与实数问题互化，数与形互化，正面与反面互化，动与静互化，特殊与一般互化，抽象与具体互化•下面的问题是利用转化思维角度，将止面问题转化为其对立面，代数问题转化为几何问题.问题3：设双曲线x

5、y二1的两支为cl,c2,正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上，求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上.分析：山于这个问题从正面不易将问题转化，这样，可以从反面思考,也就是考察所证结果的对立面，或假定结论不成立，看看能得到什么结果.假设正三角形PQR的三顶点P、Q、R位于同一支上，不妨假设在cl(如图1所示)上，其坐标分别为P(xl,yl),Q(x2,y2),R(x3,y3)不妨设0v2>y3>0PQ2+QR2-PR2二[(xl-x2)2+(yl-y2)2]+[(xl-x3)2+(yl-y3)2]+[(x2-x3)2+(y2-y3)2]=2(x2-xl)(x2-x3)+2(y2-y

6、l)(y2-y3)<0故PQ2+QR2〈PR2,这说明ZPQR是钝如三和形，与已知Z^QR为正三角形矛盾，所以P、Q、R不能位于同一支上•从问题3可以看出，对于“不存在”、“一定”、“唯一”等一类问题，若从正面难以找到解题途径时，可以从反面来考虑，将题设的条件或结论加以修改，否定或者削弱，往往会得到事半功倍的效果.责任编辑罗峰