正多面体与欧拉定理讲课讲稿.ppt

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1、正多面体与欧拉定理正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体正多面体的展开图著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过．他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式．欧拉欧拉公式及其应用讨论问题1：（1）数出下列四个多面体的顶点数

2、V、面数F、棱数E并填表(1)（2）（3）图形编号顶点数V面数F棱数E（1）（2）（3）（4）规律：V+F-E=246486126812201230(4)(6)问题1：（2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表讨论(5)5857812图形编号顶点数V面数F棱数E（5）（6）121224（7）(7)多面体简单多面体表面经过连续变形能变成一个球面的多面体V+F-E=2简单多面体欧拉公式欧拉示性数问题2：如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论压缩成平面图形问题2：如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论压缩

3、成平面图形1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，则它的顶点数V和面数F的关系为__________。欧拉公式的应用(2)一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系为_________。欧拉公式的应用2、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．4、一个凸多面体的棱数是30，面数为12，则它的各面多边形内角的总和为__________。5、是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边欧拉公式的应用3、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家．C60是有60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体

4、形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？小结猜想证明应用空间问题平面化V+F-E=2欧拉公式（方法二）以四面体为例来说明：将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变。因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形既可。对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面例如去掉，就减少一个面，同理去掉棱、也就各减少一个面、因此，、的值都不变，因此的值也不变。（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉，就减少一个顶点

5、，同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下在此过程中的值不变，但这时面数是0。所以的值也不变。最后只剩下，所以最后加上去掉的一个面，就得到例1.由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连有m条棱，令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数（2）令这个多面体有个V顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV条棱,由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数（1）由（1）（2）得：，代入欧拉公式：∴即（3），∵又，，但m,n不能同时大于3，（若，，则有，即这是不可能的）∴m

6、,n中至少有一个等于3．令，则∴，∴∴同样若可得．此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢