南京大学-热力学与统计物理第六章.ppt

《南京大学-热力学与统计物理第六章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、(一)．分布和微观状态系统由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。能级：简并度：粒子数：用符号表示数列，称为一个分布。有确定的N、E、V的系统，分布必须满足条件：第六章、近独粒子构成的系统几点说明：（1）分布和微观状态是两个不同的概念；（2）给定一个分布，只确定了在每一个能级上的粒子数（3）对于玻色系统和费米系统，确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数；例如：玻色（费米）系统的微观状态，在分布确定后，还必须对每一个能级确定个粒子占据其个量子态的方式；（4）与一个分布相应的系统的微观状态往往是很多的，所以，微观状态数对于玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统显

2、然是不同的。(二)．定域系统：麦克斯韦－玻耳兹曼分布对于玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，可以对例子加以编号，一个量子态可以容纳的粒子数不受限制。当个编了号的粒子占据能级上的个量子态时；第一个粒子，在中任一态，有种可能的占据方式；第二个、第三个……粒子仍然有种可能的占据方式；那么个粒子占据态共有种可能的占据方式。所以：个编了号的粒子分别占据能级上的各量子态共有种方式。将N个粒子加以交换，分别代表不同的状态，交换数就是，在交换数中应除去同一级上个粒子的交换数，所以玻耳兹曼系统与分布相应的系统的微观状态数是：（三).非定域系统：玻色－爱因斯坦分布（1）对于玻色系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳

3、的粒子数不受限制。例：计算个粒子占据能级上的个量子态有多少可能的方式为了计算这个数目，以表示量子态1，2，……，以O表示粒子，将它们排成一行，使最左方为量子态1。下图表示5个量子态和10个粒子的一种排列。令任何一种这样的排列代表粒子占据各量子态的一种方式。例如：上图的排列表示在量子态1上有2个粒子，在量子态2上有1个粒子，在量子态3上没有粒子，在量子态4上有3个粒子，在量子态5上有4个粒子。由于最左方固定为量子态1，其余的量子态和粒子总数是个，将它们加以排列共有种方式。因为粒子是不可分辨的，应除去粒子之间的相互交换数和量子态之间的相互交换数所以，个粒子占据能级上的个量子态，有种可能性。所以玻色

4、系统与分布相应的系统的微观状态数是：(四).非定域系统：费米－狄拉克分布对于费米系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子，从个量子态中挑出个来占据（注：），有种可能的方式。费米系统与分布相应的系统的微观状态数是：(五).经典极限条件下，玻色系统的微观状态数经典极限条件：（对所有的）时：(六).经典极限条件下，费米系统的微观状态数(七).结论：在满足经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数远小于1，粒子之间的关联可以忽略，这时和都趋于，这种情形下粒子全同性原理的影响只表现在因子上。上次内容复习系统由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数N、能量E和体积V。能级：简并度：粒

5、子数：第六章、近独粒子构成的系统用符号表示数列，称为一个分布。有确定的N、E、V的系统，分布必须满足条件：三种分布：玻色－爱因斯坦分布(非定域系统:粒子不可分辨;全同性原理起作用)费米－狄拉克分布(非定域系统:粒子不可分辨;全同性原理起作用)玻耳兹曼分布(定域系统:粒子可分辨;全同性原理不起作用)经典极限条件下，玻色及费米系统的微观状态数在经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数远小于1，粒子之间的关联可以忽略，这时和都趋于，粒子全同性原理的影响只表现在因子上。对于处于平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的；微观状态数最多的分布，出现在概率最大，称为最概然分布(或最可几

6、分布)。(二)、玻耳兹曼、玻色、费米分布的推导（1）玻耳兹曼分布公式等几率原理：最概然分布：Stirling公式（其中m是远大于1的整数）证明：上式右方等于右图中一系列矩形面积之和。各矩形宽为1，高分别为，当m远大于1时，矩形面积之和近似等于曲线lnx下的面积。所以：xlnxxLagrange乘子法目的：求有约束条件函数的极值问题例：一长度固定（总长为a）线段连成一个长方形，应长宽各是多少，使得此长方形内有最大的面积？问题抽象为：在约束条件下，求函数的极值Lagrange乘子法:构造一个新函数FF=原函数+C*约束条件F对x,y的偏微商分别为零，得到：玻耳兹曼分布：玻耳兹曼系统中粒子的最概然分

7、布是使为极大的分布。由于随的变化是单调的，可以等价地讨论使为极大的分布。将取对数：假设所有的都很大，可以应用的近似，则上式可化为：所以这些不完全是独立的，它们必须满足条件：约束条件：用拉格朗日未定乘子和乘这两个式子并从中减去，Lagrange乘子法根据拉氏乘子法原理，每个的系数都等于零，所以得：即：上式给出玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布，称为麦克斯韦-玻耳兹曼分布或玻耳兹曼分布，拉氏乘子和由确定，