暑期班第10讲.双曲线的定义与性质.理科.学生版.doc

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1、第十讲双曲线的定义与性质高考要求⑴了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．⑵掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．⑷了解圆锥曲线的简单应用．⑸理解数形结合的思想．⑹了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识精讲（一）知识内容1．双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程：①，焦点坐标为，，；②，

2、焦点坐标为，，；3．双曲线的几何性质（用标准方程来研究）：⑴范围：或；如图．⑵对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，，为顶点，线段为双曲线的实轴．在轴上作点，，线段叫做双曲线的虚轴．⑸渐近线：直线；⑹离心率：叫做双曲线的离心率，．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．（二）典例分析【例1】⑴，经过点，焦点在轴上的双曲线标准方程为____________．⑵动点与点、满足，则点的轨迹方程为

3、（　　）A．B．C．D．⑶是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．【例1】⑴（2009辽宁理）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为．⑵是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为　　　　　．【例1】在中，固定，顶点移动．设，当三个角满足条件时，求顶点的轨迹方程．【例2】⑴椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为_______．⑵设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为，求双曲线的方程．【例1】（2009华师大附中高三测试8）已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂

4、直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【例2】⑴（2009山东理）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．⑵是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为　　　　　．【变式】已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为．【例2】已知点在双曲线（）的右支上（与不重合），分别为双曲线的左、右顶点，且，则（）A．B．C．D．【例3】⑴设为双曲线的两个焦点，过的直线交双曲线的同支

5、于两点，如果，则的周长的最大值是（）．A．B．C．D．⑵已知不论取何实数，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围．【例1】椭圆的长轴的两个端点分别为，点是椭圆上任意一点，它关于轴的对称点为，与的交点为，则点满足的轨迹方程．【例2】（2009上海理）已知双曲线，设过点的直线的方向向量．⑴当直线与双曲线的一条渐近线平行时，求直线的方程及与的距离；⑵证明：当>时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为．【变式】（2009陕西理）已知双曲线的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为．⑴求双曲线的方程；⑵如图，是双曲线上一点，，两点在双曲线的

6、两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，，求面积的取值范围．【例1】若直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．【变式】问题1：若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的的值．【变式】问题2：若直线与双曲线有两个相异公共点，求的取值范围．【变式】问题3：若直线与双曲线的一支有两个相异公共点，求的取值范围．【变式】问题4：若直线与双曲线的两支各有一个公共点，求的取值范围．【变式】问题5：若直线与双曲线的右支有两个相异公共点，求的取值范围．【例2】已知直线与双曲线，记双曲线的右顶点为，是否存在实数，使得直线与双曲线的右支交于，两点，且，若存在，求

7、出值：若不存在，请说明理由．【变式】直线与双曲线的右支交不同的，两点，⑴求实数取值范围；⑵是否存在实数，使得以线段直径的圆经过双曲线的右焦点．若存在，求出值：若不存在，请说明理由．家庭作业习题1.经过定点，实轴长为，且焦点在轴上的双曲线的标准方程为　　　　　　，焦点坐标为__________，渐近线方程为_________．习题2.讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．习题3.（2009安徽理）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．习题4.双曲线的左、右焦点与椭圆的焦点相同，且离心率互为倒数，则双曲线的方程是___________

8、___；它的渐近线的方程是__________．月测备选习题1.（2008陕西理8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．习题