考研数学三：公式大全.docx

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1、专题八：公式大全（一）最近几天做题的过程中，越来越觉得有些公式在不同的题目之间反复使用，可谓上镜率颇大。终于又下定决心，要好好整理一下咯！下面将收录，我认为比较重要的部分公式。有些考的少，或者太简单的就不列出来了。相信下面的公式应该会比较有代表性。（二）1.当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex-1当x→0时，ax-1~xlna（用e的等价变形来记）1-cosx~12x21-cos2x~2x2n1+x-1~1nx1+βxα-1~αβx（用1∞未定式来记）loga(1+x)~1lnax（用换底公式来记）2.1∞未定式通用公式：limf(x)g(x

2、)=elim⁡g(x)∙fx-13.泰勒公式：fx=fx0+f'x0x-x0+f’’(x0)2!x-x02+⋯+f(n)x0n!x-x0n+f(n+1)ξ(n+1)!(x-x0)n+1（ξ在x与x0之间）麦克劳林公式：fx=f0+f'0x+f’’(0)2!x2+⋯+fn(0)n!xn+fn+1θx(n+1)!xn+1（0<θ<1）4.五个基本初等函数泰勒公式：(1)ex=1+x+12!x2+⋯+1n!xn+eθx(n+1)!xn+1(2)sinx=x-13!x3+15!x5-⋯+-1n-1∙12n-1!∙x2n-1+-1n∙cosθx2n+1!∙x2n+1(3)cosx=1-12!x2+1

3、4!x4-⋯+(-1)n∙12n!∙x2n+-1n+1∙cosθx2n+2!∙x2n+2(4)1+xα=1+αx+αα-12!x2+⋯+αα-1⋯α-n+1n!xn+αα-1⋯α-nn+1!1+θxα-n-1xn+1(5)ln1+x=x-12x2+13x3-⋯+-1n-11nxn+-1n∙xn+1n+11+θxn+15.定积分重要公式：※（1）若f(x)在[-a,a]上连续，则-aaf(x)dx=0a[fx+f(-x)]dx※（2）若f(x)在[0,a]上连续，则0af(x)dx=120a[fx+f(a-x)]dx（3）0πxf(sinx)dx=π20πfsinxdx=π0π2f(sinx

4、)dx6.几个重要的广义积分：※（1）-∞+∞e-x2dx=π（主要记这一个，以下的几个自己推）（2）0+∞e-x2dx=π2（3）-∞+∞e-x22dx=2π（4）0+∞e-x22dx=π27.6种常见的麦克劳林展开式：（1）ex=n=0∞xnn!x∈-∞,+∞（2）sinx=n=0∞-1n∙x2n+12n+1!x∈-∞,+∞（3）cosx=n=0∞-1n∙x2n2n!x∈-∞,+∞（4）ln1+x=n=0∞(-1)n∙xn+1n+1x∈(-1,1]（5）(1+x)a=n=0∞αα-1⋯α-n+1n!xnx∈(-1,1)※特别：11-x=n=0∞xnx∈(-1,1)11+x=n=0∞-1

5、n∙xnx∈(-1,1)（6）arctanx=n=0∞-1n∙x2n+12n+1x∈[-1,1]8.微分方程与差分方程的6大类：（1）一阶齐次线性微分方程y'+P(x)y=0通解：y=Ce-P(x)dx(C=±eC1)（2）一阶非齐次线性微分方程y'+Pxy=Q(x)的通解：y=e-Pxdx(QxePxdxdx+C)（3）二阶常系数齐次线性微分方程y’’+py’+qy=0(p,q为常数)的通解：由特征方程r2+pr+q=0,解出r1,r2i.r1,r2为两个不相等的实根：y=C1er1x+C2er2xii.r1,r2为两个相等的实根：y=(C1+C2x)er1xiii.r1,r2为一对共轭

6、复根，r1=α+βi,r2=α-βi(α=-p2,β=4q-p22)：y=eαxC1cosβx+C2sinβx（4）二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=f(x)的特解：①若fx=Pm(x)eλx，则特解为y*=xkQm(x)eλx，i.若λ不是特征方程的根，则k=0ii.若λ是特征方程的单根，则k=1iii.若λ是特征方程的重根，则k=2②若fx=eλxPlxcosωx+Pnxsinωx，则特解为y*=xkeλxRm(1)xcosωx+Rm(2)xsinωx(m=max⁡(l,n))i.若λ+ωi（或λ-ωi）不是特征方程的根，则k=0ii.若λ+ωi（或λ-ωi）是特征方程

7、的根，则k=1（5）一阶常系数齐次线性差分方程yx+1-ayx=0的特征方程为：λ-a=0通解为：Yx=Cax（C为任意常数）（6）一阶常系数非齐次线性差分方程yx+1-ayx=f(x)的特解为：①若fx=Pn(x)，则特解为：yx*=xkQn(x)i.若1不是特征方程的根，则k=0ii.若1是特征方程的根，则k=1②若fx=b1cosωx+b2sinωx，则特解为：yx*=Acosωx+Bsinωx（A,B为待定系数）