雅可比矩阵课件.ppt

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1、第二章机器人静力分析与动力学机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类问题：动力学正问题是根据各关节的驱动力(或力矩)，求解机器人的运动(关节位移、速度和加速度)，主要用于机器人的仿真；动力学逆问题是已知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力(或力矩)，是实时控制的需要。2.1机器人雅可比矩阵机器人雅可比矩阵(简称雅可比)揭示了操作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间

2、速度、加速度和静力的变换提供了便捷的方法。2.1.1机器人雅可比的定义在机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵。雅可比矩阵关节坐标的表示：微元运动线性&角度运动速度传递分析显式求解静力分析二自由度平面关节型机器人(2R机器人)，端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系微分形式J称为图2.1所示2R机器人的雅可比矩阵对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量q表示，q=[q1,q2,…,qn]T;dq=[dq1，dq2,…,dqn]T机器人末端在操作空间的位置和方位:X=X(q)，操作空间的微小运动:dX=[dX，dY，dZ，DφX

3、，DφY，DφZ]Tn自由度机器人速度雅可比矩阵直接微分法求解雅可比矩阵：m为要描述的平动或者转动投影分量数(比如绕三个坐标轴转动在xyz上投影对应m=9，三个)，x1到xm中可能包括平动也可能包括转动，n为关节数，通常也为自由度数。斯坦福机械手雅可比矩阵示例：Xp为坐标原点，r1,r2,r3表示为坐标轴的单位向量的方向余弦：斯坦福机械手位置雅可比矩阵的求解：斯坦福机械手姿态雅可比矩阵的求解：斯坦福机械手姿态雅可比矩阵的求解：2.1.2机器人速度分析利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析。对式(2.7)左、右两边各除以dt得式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度；q

4、dot为机器人关节在关节空间中的关节速度J(q)为确定关节空间速度qdot与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵刚体广义速度雅可比矩阵的表示：机械手的笛卡儿空间运动速度与关节空间运动速度之间的变换称之为雅可比矩阵。关节空间向笛卡儿空间速度的传动比。设x为表示机械手末端位姿的广义位置矢量，q为机械手的关节坐标矢量刚体广义速度雅可比矩阵的表示：平行移动情况下的速度分解：旋转运动情况下的速度分解：矢量叉积的矩阵表示：旋转和平移同时进行：旋转和平移同时进行：速度的传递：速度传递法求解平面速度雅可比矩阵例题1：速度传递法求解平面速度雅可比矩阵例题1：矢量积法求解广义速度雅可比矩阵矢量积

5、法求解广义速度雅可比矩阵矢量积法求解广义速度雅可比矩阵x0y0z0zizi是坐标系{i}的z轴在基坐标系{o}中的表示。对于移动关节，有：对于转动关节，有：是在在基坐标系{o}中的表示。基坐标系斯坦福机械手速度雅可比矩阵的求解斯坦福机械手广义速度雅可比矩阵的求解教材例题2.1：逆雅可比矩阵的示例：例2.1如图2.2所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时的关节速度。解由式(2.6)知，二自由度机械手速度雅可比为因此，逆雅可比为2.1.3机器人雅可比讨论机器人的奇异形位

6、分为两类：(1)边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的约束。这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位。(2)内部奇异形位：两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。这时相应的机器人形位叫做内部奇异形位。机器人的奇异点讨论：斯坦福机械手的运动学奇点：斯坦福机械手的运动学奇点示例（讨论theta5=0的特殊情况）（theta5=0时两轴线重合）通过雅可比矩阵求解平面机械手的奇点分析示例：通过雅可比矩阵对斯坦福机械手的奇点分析说明：2.2机器人静力分析机器人在

7、工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制的基础。2.2.1操作臂力和力矩的平衡图2.3所示，杆i通过关节i和i+1分别与杆i–1和i+1相连接，建立两个坐标系{i–1}和{i}。定义如下变量：fi–1，i及ni–1，ii–1杆通过关节i作用在i杆上的力和力矩；fi，i+1及ni，i+1i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩；–fi，i+1及–ni