第十一章特征值与特征向量.ppt

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1、第11章特征值与特征向量华南师范大学数学科学学院谢骊玲代数特征值问题工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。矩阵A=(aij)n×n的特征值是A的特征多项式p(λ)=

2、λI-A

3、的n个零点华南师范大学数学科学学院谢骊玲用单位矩阵I来重写上述方程，可以得到Ax=λIx，从而进一步可以写成线性方程组的标准形式(A-λI)x=0，这是关于向量x的齐次线性方程组。该齐次方程组因为存在非平凡解x≠0，所以有det(A-λI)=0矩阵的特征值问题华南师范大学数学科学

4、学院谢骊玲行列式det(A-λI)=0可写成如下形式：将行列式展开得到一个n阶多项式（特征多项式）：华南师范大学数学科学学院谢骊玲特征值的计算方法当维数n很小时，手工计算特征值和对应的特征向量的方法：求特征多项式的系数求特征多项式的根即特征值求齐次线性方程组(A-λI)V=0的非零解即特征向量当维数n稍大一些，行列式展开本身就很不容易，另外高次代数方程的求解也很困难。因此，矩阵特征值的求解，主要是数值解法，如幂方法、雅可比方法和QR算法华南师范大学数学科学学院谢骊玲特征值的一些有关结论定理设λ为A∈Rn×n的特征值且Ax=λx，其中x≠0，则cλ为cA

5、的特征值（c为常数c≠0）λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x(Th11.19)λk为Ak的特征值，即Akx=λkx设A为非奇异阵，那么λ≠0且1/λ为A-1的特征值，即(Th11.20)且上述各矩阵对应的特征向量全都为x华南师范大学数学科学学院谢骊玲特征值的重复度定义：特征多项式p(λ)=det(A-λI)可以分解为如下形式其中mj是特征值λj的重复度。所有特征值的重复度之和为n，即有：华南师范大学数学科学学院谢骊玲特征值的存在性定理（1）定理11.4(a)对矩阵A的每个唯一的特征值λ至少有一个与该特征值相应的特征向量V(b)如果

6、矩阵A的特征值λ的重复度为r，则A至多有r个与该特征值相应的线性无关的特征向量V1,V2,…,Vr华南师范大学数学科学学院谢骊玲定理11.4的应用将重复度r≥1的特征值λ代入下列方程：(A-λI)V=0采用高斯消去法就可以得到高斯归约形（上梯形），包含有n个变量，n-k个方程，其中1≤k≤r。因此可供选择的自由变量有k个，通过一定方式选择自由变量，可以得到与λ对应的k个线性无关的解向量V1,V2,…,Vk华南师范大学数学科学学院谢骊玲特征值的存在性定理（2）定理11.5设A是一个方阵，λ1,λ2,…,λk是A的互不相同的特征值，对应的特征向量分别是V1

7、,V2,…,Vk，则{V1,V2,…,Vk}是一组线性无关的向量集合。定理11.6如果n×n矩阵A的特征值是互不相同的，则存在n个线性无关的特征向量Vj，其中j=1,2,…,n。华南师范大学数学科学学院谢骊玲左特征向量在式AV=λV中，由于V右乘矩阵A，因此被称为相应于特征值λ的右特征向量如果有Y’A=λY’，则相应地称Y为矩阵A的特征值λ的左特征向量一般地，矩阵A相应于特征值λ的左特征值Y与右特征值V是不同的，但如果是一个实对称矩阵，即A’=A，则(AV)’=V’A’=V’A，(λV)’=λV’。所以当A是实对称矩阵时，左右特征向量相同华南师范大学数

8、学科学学院谢骊玲特征向量归一化矩阵A的相应于特征值λ的特征向量V乘以一个常量c仍然是特征值λ的特征向量A(cV)=c(AV)=c(λV)=λ(cV)为得到唯一的形式，可使用向量范数将特征向量归一化U=V/

9、

10、V

11、

12、p则向量U的p-范数为1华南师范大学数学科学学院谢骊玲对角化对角矩阵D的特征值容易求得令Ej=[00...010...0]T是标准基向量，其中第j个分量为1，其它的都是0，从而有DEj=[00...0λj0...0]T=λjEj这表明矩阵D的特征对是λj和Ej，其中，j=1,2,...,n华南师范大学数学科学学院谢骊玲如果有一种简单的方法可将

13、矩阵A转换为对角阵，则可以直接得到它的特征值定义11.5设有n×n矩阵A和B，如果存在一个非奇异矩阵K，使得B=K-1AK，则称矩阵A和B相似定理11.7如果A和B是相似矩阵，λ和V是矩阵A的特征对，那么λ也是矩阵B的特征值，设非奇异矩阵K使得K-1AK=B，则Y=K-1V是矩阵B的对应于特征值λ的特征向量一个n×n矩阵A，如果它和一个对角矩阵相似，则称它是可对角化的华南师范大学数学科学学院谢骊玲对角化定理定理11.8矩阵A和一个对角矩阵D相似，当且仅当它有n个线性无关的特征向量。如果A和D相似，则有V-1AV=D=diag(λ1,λ2,...,λn)

14、V=[V1V2...Vn]其中n个特征对是λj和Vj，j=1,2,...,n.具有n个不同特征