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1、1.4.3正切函数的性质与图象自学导引(学生用书P26)由正切线得到正切曲线,并掌握正切曲线的性质.课前热身(学生用书P26)函数y=tanx的性质与图象见下表:y=tanx图象定义域值域周期奇偶性单调性在开区间________________上都是_________(-∞,+∞)最小正周期是π奇函数增函数名师讲解(学生用书P26)1.正切函数的性质 通过观察正切线､正切曲线得到正切函数的各种性质,包括它的定义域､值域､周期性､奇偶性和单调性. 对于正切函数的性质应注意以下几点:①正切函数y=tanx的定义域是{x
2、x≠kπ+,k∈Z},这一点与已学过的正弦函数和余弦函数不同,在解题中往往
3、注意不到.比如,求函数的定义域,不仅要考虑到tanx≠1,还要考虑到tanx自身的限制,于是有: 注意一定不能忽略后者.②正切函数y=tanx的最小正周期为π,这一点也是与正弦函数､余弦函数不同的.形如y=tanωx的函数的最小正周期这可以作为公式使用. ③关于正切函数的单调性有下列命题: 命题一:正切函数y=tanx是增函数; 命题二:正切函数y=tanx在其定义域上是增函数; 命题三:正切函数y=tanx在每一个开区间(+kπ,+kπ) (k∈Z)内是增函数. 应指出,只有命题三是真命题.2.正切曲线 (1)用几何法作正切曲线,也就是用单位圆中的正切线画出正切曲线.正切曲线是由沿y
4、轴的上、下两个方向无限伸展,并被无穷多条与x轴垂直的直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线所组成的.这些直线x=kπ+(k∈Z)为正切曲线的渐近线,在每两条这样的相邻直线之间,曲线是连续变化的,并且从左向右看是上升的.(2)正切曲线草图的画法. 正切函数的图象在要求不高的情况下,可用“三点两线法”画出草图,“三点”是指(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指x=-,x=.在三点两线确定的情况下,可大致画出正切函数在(-,)上的简图,然后向左､右平移即可得正切曲线.典例剖析(学生用书P26)题型一利用正切函数的单调性比较大小例1:比较的大小.分析:利用诱导公式化为同一单调区间上的
5、正切函数,利用正切函数的单调性比较大小.规律技巧:当所给的两个角不在同一单调区间时,要用诱导公式将它们化到同一单调区间,不是同名函数的要利用公式化成同名函数.变式训练1:比较下列各组数的大小. (2)tan1,tan2,tan3.题型二求函数的单调区间 例2:写出下列函数的单调区间 (1)y=tan (2)y=
6、tanx
7、.分析:(1)用换元法,(2)用图象解.(2)y=
8、tanx
9、=tanx,x∈[kπ,kπ+)(k∈Z), -tanx,x∈(kπ-,kπ](k∈Z). 可作出其图象(如下图),由图象知函数y=
10、tanx
11、的单调递减区间为(kπ-,kπ](k∈Z),单调递增区间为[kπ
12、,kπ+π2)(k∈Z).规律技巧:因为本题是分段函数且周期为π,所以可考查在(0,)及(-,0)的单调性,然后根据周期,写出x在定义域内的单调区间.变式训练2:y=2tan(3x+)的单调增区间是__________.题型三正切函数性质的应用例3:(2005·全国Ⅱ)已知函数y=tanωx在(-,)内是减函数,则() A.0<ω≤1B.-1≤ω<0 C.ω≥1D.ω≤-1解析:ω只是变换函数的周期并将函数的图象进行伸缩,若ω使函数在(-,)上递减,则ω必须小于0,而当
13、ω
14、>1时,图象将缩小周期,故-1≤ω<0.答案:B答案:D易错探究(学生用书P27)错因分析:错解主要是误认为正切函数
15、图象的对称中心的坐标是(kπ,0)(其中k∈Z),但由正切函数的图象发现:点(kπ+,0)(其中k∈Z)也是正切曲线的对称中心,因此正切函数图象的对称中心的坐标是(,0)(其中k∈Z).技能演练(学生用书P28)基础强化1.y=tanx(x≠kπ+,k∈Z)在定义域上的单调性为() A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上为增函数 D.在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上为减函数答案:C答案:A3.若tanx≤0,则() A.2kπ-16、π-≤x≤kπ,k∈Z解析:tanx≤0,∴kπ-
