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1、6.3曲面与空间曲线一、曲面三、旋转曲面四、空间曲线二、柱面一、曲面定义空间点集S={(x,y,z)
2、F(x,y,z)=0}称为由方程F(x,y,z)=0所确定的曲面.(1)S上的点都满足F(x,y,z)=0；(2)满足F(x,y,z)=0的点都在S上.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为例方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解由以上二例可见，研究曲面有两个基本问题：(1)已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲面方程；(2)已知曲面方程，研究曲面形状.解所求方程是曲面上任一点,例的全体所组成的
3、曲面方程.定义二、柱面平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线.所形成的曲面称为移动的直线L柱面.准线母线因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,例讨论方程的图形.在xOy面上,解现在空间直角坐标系中讨论问题.母线平行于z轴的柱面.表一个圆C.过点作平行z轴的直线L,设点在圆C上,对任意z,点的坐标也满足方程沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标都满足此方程,在空间,就是圆柱面方程.此曲面称为圆柱面.)0,,(1yxM,222Ryx=+平面表示母线平行于z表示母线平行
4、于z轴抛物柱面柱面举例其准线是xOy面上的抛物线轴的柱面,的柱面,其准线是xOy面上的直线从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）例椭圆柱面双曲柱面抛物柱面直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间为xOy面上的曲线C.其准线母线平行于x轴母线平行于z轴母线平行于y轴例母线:与z轴平行.S：双曲柱面准线:xOy平面上的双曲线Oyxz2.柱面方程的特征：(1)F(x,y)=0：准线是xOy平面上的曲线F(x,y)=0,母线与z轴平行；(2)G(x,z)=0：准线是xOz平面上的曲线G(x,z)=0,母线与y轴平行；(3)H(y
5、,z)=0：准线是yOz平面上的曲线H(y,z)=0,母线与x轴平行；三、旋转曲面定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,母线.为方便,平面取作坐标面,旋转轴取作坐标轴.(surfaceofrevolution)常把曲线所在以一条平面曲线母线轴旋转过程中的特征：如图将得方程代入旋转曲面方程.旋转一周的即为同理,旋转曲面方程为旋转一周的绕z轴绕y轴一般地，解圆锥面方程所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,例两直线的夹角圆锥面的半顶角.称为试建立顶点在坐标
6、原点O,旋半顶角为的圆锥面的方程.转轴为z轴,面上直线方程为直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周圆锥面方程即圆锥面方程(用得较多)?绕y轴旋转所得曲面方程及图形.即面上直线方程为将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.旋转双曲面例双曲线(1)分别绕x轴和z轴;绕x轴旋转绕z轴旋转旋转椭球面旋转抛物面(2)绕y轴和z轴;(3)绕z轴.例方程z=x2+y2表示什么曲面？解即，曲面z=x2+y2可以看作是：xOz平面上的抛物线z=x2绕z轴旋转一周所得到的旋转抛物面.这个也可看作是：yOz平面上的抛物线z=y
7、2绕z轴旋转一周所产生的.空间曲线的一般方程空间曲线C可看作特点：四、空间曲线曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间两曲面的交线.1、空间曲线的一般方程例方程组表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆C例方程组表示怎样的曲线？解上半球面（如图）圆柱面（如图）交线为蓝色部分（如图）空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的就得到曲线上的一个点全部点.动点从A点出发,螺旋线的参数方程.取时间t为参数,解经过t时间,运动到M点.例那末点M构成
8、的图形称为螺旋线.试建立其参数方程.M在xOy面的投影轴的正方向上升如果空间一点M在圆柱面上以角速度ω绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比.即上升的高度螺距消去变量z后得：曲线关于xOy的设空间曲线C的一般方程：投影柱面的特征：3、空间曲线在坐标面上的投影此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、C投影柱面.母线垂直于所投影的坐标面.类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.yOz面上的投影曲线xOz面上的投影曲线空间曲线在xOy面上的投影曲线(或称
9、投影)(即为曲线关于xOy面的投影柱面)(即为xOy面)C(即为投影柱面与xOy面的交线)投影曲线的研究过程可用下面的几何图形表示：空间曲线投影曲线投影柱面例求曲线在坐标面上的投影.解(1)消去变量z后得在xOy面上的投影为(2)因为曲线在平面xOy面的投影柱面上，所以在xOz面上的投影为线段.例求曲线在坐标面上的投影.(3)同理
