BB52常数项级数的判敛法 ppt课件.ppt

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1、二、交错级数及其审敛法三、任意项级数的判敛法第二节一、正项级数的判敛法常数项级数的判敛法第五章1一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”定义2定理2(比较审敛法)且存在对一切有1、若级数（2)则级数(1)2、若级数（1）则级数（2）证略则有收敛,也收敛;发散,也发散.两个正项级数,(常数k>0),3解1：发散,例1：判断下列级数的敛散性而收敛由比较判别法可知原级数收敛解2：而由比较判别法可知原级数发散4例2.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若

2、因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,2）若顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起此式由比较判别法可知p>1时，p级数收敛。5重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切6证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例3.7例48定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=+∞证明略！设两正项级数满足(1)当0

3、的极限形式知原式收敛。例6.判别级数12例7：1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)故原级数发散.13的敛散性.～例8.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例9.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～14例10.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知15定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.16例1：判断下列级数的敛散性解：解：由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。由正

4、项级数的比值判别法可知原级数发散。解：比值判别法失效！17解因分母的最高次数与分子的最高次数之差为用比较法！则取为p级数，且p>1,则原级数收敛。18解：比值法失效，但故级数发散。19解：考虑以为通项的级数用比值法知级数收敛，例2：求证20定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设则证明略为正项级数,且例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.21例1：判断下列级数的敛散性解：由正项级数的根值判别法可知原级数发散。解：由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。解：由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。22二、交错级数及其审敛法则各项符号正

5、负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足23证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故24收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛25三、任意项级数的判敛法定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称收敛,原级数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.可正可负可为零。26定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令27例1.证明下列级数绝对收敛:证

6、:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.28解因此收敛,绝对收敛.例1.证明下列级数绝对收敛:2930例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别法，关键是将通项绝对值如何放大或缩小。解：原级数条件收敛！是发散的级数31例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。32内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用其它方法判别积分判别法部分和极限333.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收

7、敛34P3221;2(1),(2),(4);3;4(1),(3);5(1),(2)作业35