贺卡悉数交之方法总数的探讨.doc

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1、“贺卡”悉数交换之方法总数的探讨湖北省荆州中学鄢文俊【案例】1.现有坐在一排的八个人,若要交换其中三人的位置,其余的人保持不动,问有多少种不同的变换方法?（答案：）2.同寝室四人,在新年到来之际,每人写了一张新年贺卡,将四张贺卡放在一起后每人又从中拿,问每人都不拿自己写的贺卡的情况有多少种?解析:分为四步:第一步:甲取一张,有3种取法；第二步:由甲取的那张贺卡的供卡人取,也有3种取法；第三步:由剩余两人中一人取,有1种取法；第四步:最后一人取,只有1种取法；由分布计数原理得不同取法有9种。【问题】案例中的人数变为5人,6

2、人,…,个人,其结果又是多少呢?对案例2中的人数变为5人后,求其方法数的操作方式可以仿照4人的情形,只是过程稍微麻烦一些而矣,其方法数为44。而如果继续扩大数据,问题将会越来越繁琐,做起来也就会越来越困难。【问题探索1】对案例2中人数变为6人后,我们试图用下述方式探求一下：6人去拿已经放在一起的6张卡片,共有种不同拿法.而这些拿法按最终结果又可以分成下列6种情况：(1)6人全部拿自己写的卡片,方法数为1种；(2)6人中只有两人没拿到自己所写的贺卡,方法数为种；(3)6人中只有三人没拿到自己所写的贺卡,方法数为种；(4)6

3、人中只有四人没拿到自己所写的贺卡,方法数为种；(5)6人中只有五人没拿到自己所写的贺卡,方法数为种；(6)6人中全部没拿到自己所写的贺卡,方法数设为根据加法原理，则有：。同样地,若案例2中人数变为7人后，解决7人问题为：。一般地：若案例2中人数变为更一般的（）个人呢?上述方式也就又不太实用了！这时我们不妨把由人数的变化而带来方法数整理成一个数列,则其前几项为：,【问题探索2】当规定个人都不拿自己卡片时，由考察个人拿卡片情形去递推，符合要求的情形有两类：其一：若个人中有个人没有拿自己写的贺卡,另一个拿到自己的贺卡的人与第个

4、人交换即可以保证这个人均没有拿到自己的卡片,其方法数为种；其二：若个人中都不拿自己写的贺卡,而只需把其中某一个人的卡片与第个人交换即可,此时的方法数有种；根据加法原理有：,即①下面研究①式：由①所以数列是以为数列,为公比的等比数列,从而：这就是说：上述数列满足递推关系：，其中。下面用数列归纳法证明：（1）当时,,成立。（2）假设当时有成立。则当时,即当时,成立。综合⑴,⑵得：（发表在《高校招生》2008年第10期）