第1章12子集、全集、补集.doc

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1、1．2　子集、全集、补集1．了解集合之间包含关系的意义．2．理解子集、真子集的概念．3．了解全集的意义，理解补集的概念．1．子集(1)如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，则称集合A是集合B的子集，记为AB(或B⊇A)．读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．(2)AB可用Venn图表示为：(3)根据子集的定义，我们知道AA，也就是说任何集合是它本身的子集．(4)对于空集，我们规定A，即空集是任何集合的子集(其中A为任意集合，包含)．“∈”与“”的区别．符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，即个体与总体之间的关系；而符号“”表示集合与集合之间的包含关系

2、，即部分与总体之间的关系．如0∈{0}，但不能写成0{0}，但∈{}，此时式子左边的“”表示一个元素，又{}，此时式子左边的“”表示空集，它是任何一个集合的子集．【做一做1】{1,3}________{1,3,5,6}，{x

3、x是菱形}________{x

4、x是正方形}．(填“”或“⊇”)答案：　⊇2．真子集(1)如果AB，并且A≠B，这时称集合A是集合B的真子集，记为AB(或BA)．读作“A真包含于B”或“B真包含A”．如：{1}{1,2,3}．(2)AB可用Venn图表示为：(3)根据真子集的定义，我们知道空集是任何非空集合的真子集，即A(其中A为任意非空集合，不包含)．第5页AB有

5、三种可能：①A是；②A是B的一部分，即AB；③A与B是同一集合．【做一做2】用适当的符号表示下列各组对象之间的关系．(1)0__________；(2)0__________{0,1}；(3){0,1}__________{1,0}；(4){0,1}__________{0,1，－1}．答案：(1)　(2)∈　(3)＝　(4)3．补集、全集(1)设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为SA(读作“A在S中的补集”)，即SA＝{x

6、x∈S，且xA}．(2)SA可用下图中的阴影部分表示．(3)如果集合S中包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记

7、作U．在有关补集的运算中，若元素有有限个，则可通过画Venn图来求之；若元素有无限个，如不等式解集的补集，则可通过画数轴而求之．【做一做3－1】已知全集U＝{x

8、x≥3}，则集合A＝{x

9、x＞5}的补集UA＝________．答案：{x

10、3≤x≤5}【做一做3－2】已知全集U＝{不大于10的正整数}，写出集合A＝{x

11、x＝2n，n∈N*，n≤5}的补集UA＝__________．答案：{1,3,5,7,9}1．对真子集的理解剖析：(1)集合A是集合B的真子集的前提是集合A必须是集合B的子集．(2)在集合B中至少有一个元素不在集合A中．(3)空集是任何非空集合的真子集．(4)真子集也具有传递

12、性，即若集合C是集合B的真子集，集合B是集合A的真子集，则集合C是集合A的真子集．(5)任何一个集合是它本身的子集，而不是它本身的真子集．2．对补集与全集概念的理解剖析：(1)全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究的问题而异．例如在研究实数问题时，常常把实数集R看做全集，而在研究平面几何问题时，整个平面可以看做一个全集．(2)补集必须要有全集的限制，即必须在全集的基础上才能够求得补集，同一个集合在不同全集下的补集是不同的．例如，设集合A＝{1,2,3}，若全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，则第5页UA＝{4,5,6,7}

13、；若全集U＝{1,2,3,4,5,8,9,10}，则UA＝{4,5,8,9,10}．(3)补集既是集合之间的一种关系，又是集合的一种运算，利用定义可直接求出已知集合的补集，应注意补集符号的书写．(4)求补集必须做到了解“是什么”“为什么”“怎样做”．“是什么”即全集是什么；“为什么”即要了解补集是为了求什么的运算；“怎样做”是在求补集时，如何去求“剩余元素”的集合．题型一子集的概念【例1】已知集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且AMB，写出满足上述条件的集合M：__________________________________________________________

14、______________________________________________________________________________________．解析：要解决这个问题，关键是要搞清满足条件AMB的集合M是由哪些元素组成的．∵AM，∴M中一定含有A的全部元素1,2，且至少含有一个不属于A的元素．又∵MB，∴M中的元素除了含有元素1,2外，还有元素3,4,5中的1个、2个或3个．故求M的问题转化为