同济版大一高数第十一章第四节对面积曲面积分ppt课件.ppt

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1、高等数学第二十四讲1第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分第十一章2一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M。其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)。3定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分

2、。若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.叫做面积元素。注：曲面上的点4则对面积的曲面积分存在。•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似。•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面5定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知基本思想：化为二重积分6说明:2)如果曲面方程为3)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,

3、也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分。1)如果曲面方程为7例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部。解:8思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则9例2.计算其中是由平面与坐标面所围成的四面体的表面。解:设上的部分,则原式=分别表示在平面10例3.设是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域11例3.设是四面体面,计算12例4.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则13思考:若例4中被积函数改为计算结果如何?14例5：计算解：例6

4、：计算解：15解例716例8：设均匀抛物面壳其面密度为解：17例9.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的的面密度质量M。解:在xoy面上的投影为故18例10.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁。19例11.计算解:取球面坐标系,则20例12.求半径为R的均匀半球壳的形心。解:设的方程为利用对称性可知形心的坐标而用球坐标21例13.计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用形心公式22例14.求椭圆柱面位于xoy面上方及平面z=y下方那

5、部分柱面的侧面积S。解:取23内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧。24P246题2.设一卦限中的部分,则有().(2000考研)25思考与练习P219题1；3；4(1);7解答提示:P219题1.P219题3.设则P184题226P219题4(1).在xoy面上的投影域为这是的面积!27P219题7.如图所示,有28