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《同济版大一高数第十一章第三节格林公式课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高等数学第二十二讲1第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第十一章2引例：计算积分路径沿着圆周的正向。解法：应用格林公式由于二重积分和平面的曲线那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来？本节介绍格林公式将指出，二重积分可以化为沿区域D的边界曲线L正向的曲线积分，在平面闭区域D上的这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系。积分都是化为定积分来计算的，3区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有
2、(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式证明：即要证4证明:则5即同理可证①②①、②两式相加得:62)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕7引例：计算积分路径沿着圆周的正向。解法：应用格林公式8例1：利用格林公式计算L由曲线解：画出闭曲线及其所围成的区域D。1.简化曲线积分简单应用9例2计算：其中L为折线OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2).解：10所以由格林公式例311例4.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:令则利用格林公式,得12例5.计算其中L为一
3、无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知13在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和lˉ所围的区域为林公式,得14解例615统一变量化成定积分取顺时针方向。16其中L为上半圆周解:沿逆时针方向.例7计算17例82009年考研计算曲线积分是曲线解取辅助线由格林公式其中L上从点到点的一段。182.计算平面面积19推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积20例9：用两种方法计算L由曲线解法121例9用两种方法计算L由曲线解法2轮换对称法22例11.计算其中L为(1)
4、抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式此题的特点：23二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(2)沿D中任意光滑闭曲线L,有(3)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(4)与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即(1)在D内每一点都有24证明(1)(2)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕25说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(2)(3)设为D内任意两条由A到B的
5、有向分段光滑曲线,则(根据条件(2))26证明(3)(4)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数27证明(4)(1)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有28说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;29例1.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).
6、解:它与L圆周所围区域为D,则为了使用格林公式,添加辅助线段30解：因为即不含原点的单连通域，积分与路径无关。取新路径例231其参数方程为例232例3：计算解：积分与路径无关统一变量化成定积分33例4.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。34例5：验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。解：在整个平面上都成立则所给出的微分式是全微分式。利用公式：取为起点，动点为方法135方法2例6：验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。36方法3取注：积分的起点
7、不同，结果相差一个常数。应该选择某些特殊的点方便计算。例5验证平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。37方法4例5验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。38例6.验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:令则由定理2可知存在原函数39或402.设提示:41例7.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.42思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意：本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!43例8.质点M沿着以AB为直径的半
8、圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y轴正向夹角为求变力F对质点M所作的功.(90考研)F的大小等于点M在此过程中受力F作用,44内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在D内有对D内任意闭曲线L有在D内有设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有统一变量化为
