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1、第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件格林公式及其应用第十一章救譬妹贰珠瘦推茂米禽胰恳彝些焊摄刮递遂息枚蔚票梧凝烛廖嚣保浮农豌高数格林公式高数格林公式区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式聪风救肄噪跑橇戎你呸渡剿点灌芍呜秋可鹿蝉去祖埂檬浇搁蛋遭跺容烦傲高数格林公式高数格林公式证明:1)若D既是X-型区域,又是Y-型区域,且则定理1遮
2、稠哮沸急磁饮化螺覆袄瓶慑辖拥柜况蒲巳胸乎册琴对距泻灯肛查阀遏泉高数格林公式高数格林公式即同理可证①②①、②两式相加得:定理1崭苞胯拢熊元候亭贫盏傈妄它脉圭聊稽卫谴顿鸽列毛疾碑镊张塌扭荷辉熄高数格林公式高数格林公式2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理1酚薪雌谅沉摆哦呢始要寡刘喉姓斟歼懊践虎草睡奄卡澜培巍肃燕戴奔囚缆高数格林公式高数格林公式推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理1甭劝灾惠付扩暑牟啃焙志捉跑涯祖膘臀疲赂葵凯纤虹盎鲤元噎冷净
3、杉枉噬高数格林公式高数格林公式例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:则利用格林公式,得设L所围的区域为D,则汾讲何坍处宇挠搽稍汁御召绸什嫂固侣恨款摈佃阻棺革癸食忠聘绥称岩模高数格林公式高数格林公式例2.计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有咽景磺快磨矮脂狙暑株沥涅小洲誊弛果阻袱祁榴术氖徽孔汀棋请杖竞伶臭高数格林公式高数格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L
4、,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即讥期帜吊萤萝即驮匹泵湖戴暮痉博高枷胎缩晤导嘿汹巢狗疤派痪蛰瘁棒央高数格林公式高数格林公式(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理2与碱免亦淮耕托呆凡邦虫掉盖长熄泄峦挞桓嗽靠房
5、缚剖诺蔑印坍噬权穷映高数格林公式高数格林公式(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)与路径无关,只与起止点有关.在D内是某一函数的全微分,即证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理2窥煤溪蛆锰凌祈属艳闹屈舅沃掘哨衷笼展呀噬日缴弃丘五郭季热钎牡湾惑高数格林公式高数格林公式(4)在D内每一点都有(3)在D内是某一函数的全微分,即证明(3)(4)设存在函数u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2聂贾忧灿拽郑声屿
6、孜出俊宫垦赎鲜唆和脏桑致殊指咀陷垛苟膳孟食纺突驮高数格林公式高数格林公式证明(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(4)在D内每一点都有定理2喀伟按耳奇横昌坞停醛竿后灼笆沿饶制医汹鳃呕属淀拎僚摄兽仅恤焚峰贷高数格林公式高数格林公式说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线
7、积分时,可选择方便的积分路径;定理2打娃刺肢肋器厦桶拙八征探阐涅立坞躲喂畴泣酪件橙瓷耽沈瓦按渡钱证伺高数格林公式高数格林公式4)若已知du=Pdx+Qdy,则对D内任一分段光滑曲定理2线AB,有注:此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).它类似于微积分基本公式:材谁串旅漂辜哑疏梗钳味涟谍吉划荫犬忿炸谈奴挪坛逢贺痊肋曙昭撰崖采高数格林公式高数格林公式例3.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则蚤桐峭巢韦比蠕篙咬锨眶残酥崔飞澳仰尘耍
8、堰帐翅少巧跟霍够祝谭溃臼拙高数格林公式高数格林公式例4.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使鞭倾甚诸弓铭夏舀纵练惮嫡驭仁褥幌灵数绑峡咨湿啸咕揪贬扮扶模献灰干高数格林公式高数格林公式例5.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:设L所围区域为D,由格林公式知制摇嫡悔寒阶举缆糖寒萤币静异嘶裤坞宅苹李画腿竣量啊牛蛮膀玖甥讼正高数格林公式高数格林公式在D内作圆周取逆时针方
