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1、第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理目的：了解Riemann可积性与Lebesgue可积性之间的关系，熟练掌握Lebesgue积分的极限定理，并能熟练运用这些定理。重点与难点：L-积分极限定理及其应用。第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理基本内容：一．R-积分与L-积分的关系问题1：回忆f的Riemann可积性与
2、f
3、的Riemann可积性是否等价。对常义Riemann积分而言，情形又如何？第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积分的推广，然而对广
4、义Riemann积分来说，Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积性，这从前面的例子已经看到。第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理那么，通常意义下的Riemann可积性是否意味着Lebesgue可积性呢？如果不是的话，则就不能认为Lebesgue积分是Riemann积分的自然推广，幸运的是，答案是肯定的。第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积）此处表示在[a,b]上的Lebesgue积分，表示在[a,b]上的Riemann积分。如果有界函数在闭区间[a,b
5、]上是Riemann可积的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且证明：显然，由本节定理1，只需证明是[a,b]上的可测函数。由于fRiemann可积，取[a,b]的分点组第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理记分别为f在下的下确界和上确界，由Riemann积分的定义知第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理令为如下的函数列：则因，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理于是，即第18讲R-积分与
6、L-积分的关系,L-积分的极限定理注意到都是有界可测的，所以是非负Lebesgue可积函数，从而第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理又第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理这说明，故。由本节定理3知，进一步，因此f在[a,b]上可测，证毕。二．Levi定理问题2：回忆Riemann积分中，积分与极限交换顺序的条件？第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理(1)Levi定理问题3：从定理的条件，函数序列的极限与函数序列可否比较大小？问题4：定理中并未
7、假定集合的测度有限，也未假定函数序列有界，如何克服这一困难？问题5：定理的条件中，假定了函数序列的单调性，这说明函数序列至少是几乎处处收敛的，单几乎处处收敛的函数序列的积分与极限必可交换顺序吗？如何克服这一困难？第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理勒维Levi定理设是E上的非负可测函数序列，则第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理(2)Levi定理的证明先设，对任意，取正整数l,k,使其中第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理设正整数m0使时，对
8、一切，都有，则当时，第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理注意到，且在Ek上，，由Egoroff定理知，存在，使，且在上一致收敛到。第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理因此，由的任意性便知。另一方面，由于对任意m，显然有，第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理所以，从而。综上得。第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理又故当时，第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理当时，由积分定义，对任意M>0，存在k,l使，其中。由与及上面的证明知第18讲R-积分与L-积分的关系,L-
9、积分的极限定理第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理由m的任意性立得。证毕。三．Lebesgue基本定理问题6：我们知道级数与序列是可以相互转换的，试将Levi定理改用级数的形式叙述？第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理(1)Lebesgue基本定理如果是E上的非负可测函数序列，，则则Sk是E上的非负可测函数，并且，令，第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理(2)Lebesgue基本定理的证明第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理故
10、由Levi定理知证毕。问题7：如果Ek是一列互不相交的可测集，，f是E上的非负可测函数，能否利用Lebesgue基本定理证明？第18讲R-积分与L-积分的关系,L-积分的极限定理
